Question

Em uma função quadrática sabe-se que: (-3,-6) é o vértice; o coeficiente de $x^2$ tem módulo 1; e a função não possui zeros. A expressão da função é

Answer 1

Resposta:

$\boxed{y=-x^2-6x-15}$

Explicação passo-a-passo

uma função quadrática tem o formato de

$y=ax^2+bx+c$

no problema, temos a informação de que o coeficiente de x^2 tem módulo igual a 1, ou seja,

|a|=1

a=+/-1.

para identificar qual usar, devemos fazer um esboço do gráfico e observar que o vértice está abaixo do eixo x, e que no enunciado é dito que a função não possui zeros, ou seja, não há possibilidade de haver concavidade para cima (a>0) sem cruzar o eixo x (senão, haveria raízes). então:

a=-1

a função fica:

$y=-x^2+bx+c$

b e c deveremos obter por outros métodos com o que foi nos dado no problema.

no enunciado, é dito sobre o vértice da curva, que é (-3,-6).

em estudo sobre funções quadráticas, aprendemos que há formulas para obter o x e y do vértice (o -3 e o -6).

o x é obtido com a seguinte equação:

$x_{v}=-\frac{b}{2a}$

o a, como já vimos antes, é -1, e o x é -3, pois ele é o x do vértice.

colocando isso na equação, conseguimos o b.

$-3=-\frac{b}{-2}\\\boxed{b=-6}$

o c podemos obter aplicando o vértice (-3,-6) na equação do inicio e sabendo que b=-6:

$y=-x^2+bx+c\\-6=-(-3)^2-6*(-3)+c\\-6=-9+18+c\\\boxed{c=-15}$

assim, a função pedida é:

$\boxed{y=-x^2-6x-15}$

vendo em algum site de gráficos você consegue conferir o resultado observando onde está o vértice, e o ponto do vértice que o problema menciona.

adicionei o gráfico das curvas para visualização.

em vermelho, temos a curva caso a>0, e verde a<0

é possível observar que, com a>0 há raízes na função, e o enunciado diz o contrário, ou seja, a correta é a verde.