Question

Em uma esfera maciça de madeira de centro O, foi feita uma secção,
a 15 cm do centro, com 64π cm2 de área. A partir dessa secção
foi escavado um cone no interior dessa esfera, de modo que
a área da secção também fosse a base do cone e o eixo central
do cone coincidisse com o diâmetro da esfera, conforme ilustra
a figura. ( em anexo)

fora de escala
Usando π = 3 e sabendo que a área lateral de um cone é dada
por AL = πgr, sendo g e r, respectivamente, a geratriz e o raio da
base do cone, é correto concluir que a área lateral desse cone,
em cm2, é

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Answer 1

Olá Ana.

A primeira coisa a se fazer é achar o raio desse cone.

$A=\pi r^{ 2 }\\ 64\pi =\pi r^{ 2 }\\ \sqrt { 64 } =r\\ 8=r$

Ou seja, a distância do primeiro ponto é o raio desse cone.

Agora podemos achar o Raio da esfera, perceba que os dois pontos já estão ligados e se ligarmos o segundo ponto até o final do raio do cone teremos um triângulo retângulo, com isso é só usar o pitágoras.

$R^{ 2 }=8^{ 2 }+15^{ 2 }\\ R^{ 2 }=64+225\\ R^{ 2 }=289\\ R=\sqrt { 289 } \\ R=17$

Agora podemos achar a geratriz desse cone usando mais uma vez o pitágoras, mas dessa vez é só analisar o triângulo maior. A medida do segundo ponto até o final desse cone é a soma do Raio da esfera com a medida 17 que ele já forneceu no desenho.

$g^{ 2 }=32^{ 2 }+8^{ 2 }\\ g^{ 2 }=1024+64\\ g^{ 2 }=1088\\ g=\sqrt { 1088 } \\ g=\sqrt { 64 } *\sqrt { 17 } \\ g=8\sqrt { 17 }$

Agora é só calcular a área lateral.

$Al=\pi RG\\ Al=\pi *8*8\sqrt { 17 } \\ Al=3*64\sqrt { 17 } \\ Al=192\sqrt { 17 }$