Question

Em uma corrida, um pai tem metade da energia cinética do filho, que tem metade da massa do pai. Aumentando a velocidade em 1,0 m/s, o pai passa a ter mesma energia cinética do filho. Qual é a velocidade escalar inicial do pai ?

Answer 1

Resposta:

O enunciado diz que o pai possui metade da energia cinética do filho, isto é, a energia cinética do pai é igual à energia cinética do filho dividida por dois.

Ecp = \frac{Ecf}{2}2Ecf (i)

Também, que a massa do filho é igual à metade da massa do pai.

mf = \frac{mp}{2}2mp

Ou seja: mp = 2mf (ii)

Desenvolvendo (i):

Ecp = \frac{Ecf}{2}2Ecf

\frac{mp.(vp)^{2}}{2} = \frac{mf.(vf)^{2}}{2}.\frac{1}{2}2mp.(vp)2=2mf.(vf)2.21

{mp.(vp)^{2} = \frac{mf.(vf)^{2}}{2}

Substituindo (ii) em (i):

mp = 2mf (ii)

{2mf.(vp)^{2} = \frac{mf.(vf)^{2}}{2}

{2.(vp)^{2} = \frac{(vf)^{2}}{2}

(vp)^{2} = \frac{(vf)^{2}}{4}(vp)2=4(vf)2

vp = \frac{vf}{2}vp=2vf (iii)

O enunciado no diz que, caso aumentemos em 1,0 m/s a velocidade do pai (vp' = vp + 1 m/s), a energia cinética do pai será igual a energia cinética do filho (Ecp' = Ecf). Vamos usar também a relação (iii).

Ecp' = Ecf

\frac{2.mf.(\frac{vf}{2} + 1)^{2}}{2} = \frac{mf.vf^{2}}{2}22.mf.(2vf+1)2=2mf.vf2

2(\frac{vf}{2} + 1)^{2} = {vf^{2}}2(2vf+1)2=vf2

Desenvolvendo o produto notável:

2((\frac{vf}{2})^2 + 2.\frac{vf}{2}.1 + 1 )^{2} = {vf^{2}}2((2vf)2+2.2vf.1+1)2=vf2

2(\frac{vf^2}{4}) + 2.vf + 2 = {vf^{2}}2(4vf2)+2.vf+2=vf2

(\frac{vf^2}{2}) + 2.vf + 2 - {vf^{2}} = 0(2vf2)+2.vf+2−vf2=0

-(\frac{vf^2}{2}) + 2.vf + 2 = 0−(2vf2)+2.vf+2=0

Agora, chegamos em uma equação do segundo grau. Resolvendo-a, encontraremos a velocidade do filho e, como consequência, estaremos aptos a encontrar a velocidade do pai. Para evitar trabalhar com frações, multipliquei toda a equação por dois.

-vf² + 4vf + 4 = 0

Δ = 16 - 4.(-1).4

Δ = 32

vf' = \frac{-4+\sqrt{32}}{-2}−2−4+32

vf' = 2 + 2\sqrt{2}2+22

vf' = 4,8 m/s

vf'' = - 0,8

Logo, não convém.

Voltando ao (iii):

Vp = \frac{4,8}{2}24,8

vp' = 2,4 m/s

Resposta:

Velocidade escalar inicial do pai: 2,4 m/s

Velocidade escalar inicial do filho: 4,8 m/s

Espero ter ajudado. :)