Question

Em uma corrida de dez cavalos , quantos são os resultados possíveis para os três primeiros colocados , sendo que não pode haver empate?

Answer 1

Fazendo essa questão pela combinação de 10 a 3 temos:

 

$<var>Cn,p=\frac{n!}{p!(n-p)!}\\\\ C10,3 = \frac{10!}{3!(10-3)!}\\\\ C10,3 = \frac{10!}{3!(7)!}\\\\ C10,3 = \frac{10.9.8.7!}{3!(7)!}\\\\ C10,3 = \frac{10.9.8}{3!}\\\\C10,3=\frac{10.9.8}{2.3}\\\\C10,3 =120\\ </var>$

 

Logo são 120 resultados possíveis

Answer 2

Sejam $\text{c}_1, \text{c}_2, \text{c}_3, \text{c}_4, ..., \text{c}_{10}$ os cavalos participantes da corrida.

Consideremos os três primeiros colocados: $(\text{c}_1, \text{c}_2, \text{c}_3)$.

Observemos que:

$(\text{c}_1, \text{c}_2, \text{c}_3)=(\text{c}_1, \text{c}_3, \text{c}_2)=(\text{c}_2, \text{c}_1, \text{c}_3)=(\text{c}_2, \text{c}_3, \text{c}_1)=(\text{c}_3, \text{c}_2, \text{c}_1)=(\text{c}_3, \text{c}_1, \text{c}_2)$

O que implica que a ordem dos três primeiros colocados não importa.

Desta maneira, teremos que utilizar a ideia de combinação, como segue:

A fórmula para o cálculo de combinação simples é dada por:

$\text{C}^{\text{k}}_{\text{n}}=\binom{\text{n}}{\text{k}}=\dfrac{\text{n}!}{\text{k}!\cdot(\text{n}-\text{k})!}$

Onde $\text{n}$ é o total de elementos e $\text{k}$ o número de elementos escolhidos.

Desse modo, podemos afirmar que:

O número de resultados possíveis para os três primeiros colocados é definido por $\binom{10}{3}$.

Desenvolvendo, temos:

$\binom{10}{3}=\dfrac{10!}{3!\cdot(10-3)!}=\dfrac{10!}{3!\cdot7!}=120$

Logo, há $120$ resultados possíveis para os três primeiros colocados em tal corrida.