Question

Em uma classe, estudam dez crianças, entre as quais os irmãos Ana e Beto. A professora decide separar ao acaso a turma em dois grupos de cinco crianças cada um; o primeiro grupo fará um trabalho sobre os planetas e o segundo sobre as civilizações antigas. Qual é a probabilidade de que os irmãos Ana e Beto façam parte do mesmo grupo? Há alguma diferença (no raciocínio e no resultado) se ambos os grupos farão trabalhos sobre o mesmo assunto?

Answer 1

Olá :) 

Essa questão mistura conceitos de probabilidade e análise combinatória. 

Para se calcular a probabilidade de um evento ocorrer, devemos utilizar a seguinte fórmula: 

P = na/n 

onde na é o número de casos favoráveis e n é o número de casos possíveis. 

Também devemos saber a formula da combinação simples, que é quando não importa a ordem dos elementos. Tanto faz ter Ana e Beto e Beto e Ana no grupo, é a mesma coisa. 

Cn,p =  n! /  p! (n – p)!
onde n é o numero total de elementos e p é a quantidade de elementos em 1 agrupamento. 


Para calcular a probabilidade, devemos saber quantos modos existem para se combinar 10 crianças em 2 grupos com 5 crianças cada (casos possiveis). usaremos então a fórmula de combinação. 

Cn,p= n! /  p! (n – p)!
C10,5 = 10! / 5! (10-5)! 
C10,5 = 10! / 5! * 5! 
C10,5 = 10*9*8*7*6*5!/ 5!*5!
C10,5 = 10*9*8*7*6*/ 5!
C10,5 = 252 possibilidades. 

Também queremos saber quais são os casos favoráveis, ou seja, os casos em que a Ana fica com o Beto. 
Vamos imaginar os casos em que beto está em um grupo e ana está em outro. Resta então 2 grupos com 4 lugares cada e 8 crianças para preenche-los. 

Depois, subtraiamos de todos os casos o numero de casos que eles estão separados, restando portanto, os casos favoráveis, que é quando eles estão juntos. 

Caso em que Ana não está com beto: 
Cn,p= n! /  p! (n – p)!
C8,4 = 8! / 4! ( 8-4)!
C8,4 = 8! / 4! 4! 
C8,4 = 70 casos que ela estará sem ele.  

252 - 70 = 182 casos em que ela pode estar com ele. 

Calculando, finalmente, a probabilidade: 

P = na/n 
P = 182/252
P = 0,72 = 72%.