Em uma cidade, duas novas avenidas serão construídas tangenciando um lago artificial que será um novo ponto turístico. No projeto, o engenheiro responsável pela obra representou o lago por meio de uma circunferência e as avenidas por meio das retas r e s tangentes a esse círculo, conforme a figura a seguir:
Tomando um plano cartesiano, suponha que a equação da circunferência que representa o lago seja dada pela equação x2 + y2 – 8x + 8 = 0, e que as retas r e s se cruzam na origem. Nessas condições, os coeficientes das retas r e s são
Soluções para a tarefa
Os coeficientes das retas r e s são 1 e -1.
Equações do primeiro grau
Em equações do primeiro grau, o expoente da variável é sempre igual a 1. Esse tipo de equação é dado na forma reduzida y = ax + b, onde a e b são os coeficientes angular e linear, respectivamente.
Sabemos que as retas r e s se encontram na origem, logo, seus coeficientes lineares serão iguais a 0:
r: y = ar·x
s: y = as·x
O lago tem equação dada por x² + y² - 8x + 8 = 0, então, se r e s são tangentes ao lago, podemos encontrar um ponto R = (x, ar·x) que pertence à circunferência:
x² + (ar·x)² - 8x + 8 = 0
x² + ar²·x² - 8x + 8 = 0
x²·(1 + ar²) - 8x + 8 = 0
Como só existe um ponto de tangência, existe apenas uma solução para a equação acima, então Δ = 0:
Δ = (-8)² - 4·(1 + ar²)·8 = 0
64 - 32·(1 + ar²) = 0
64 = 32·(1 + ar²)
2 = 1 + ar²
ar² = 1
ar = ±1
Logo, os coeficientes das retas r e s são 1 e -1.
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