Question

Em uma caixa temos 5 fichas numeradas, cada uma com um algarismo. Sabemos que dois desses algarismos são pares e que exatamente dois algarismos são iguais, isto é, temos 2 algarismos iguais e os outros 3 são distintos entre si e distintos dos dois que são iguais. Colocando estas 5 fichas lado a lado, formamos um número de 5 algarismos. Quantos números pares diferentes de cinco algarismos, podemos formar, com as fichas desta caixa?
Me ajudam!​

Answer 1

Com as fichas desta caixa podemos formar 24 números pares diferentes.

Permutação com elementos repetidos

Antes de começarmos a resolver o exercício, repare que ele fala quais os cartões que tem na caixa:

• 2 cartões com algarismos pares
• 2 cartões exatamente iguais
• 3 cartões distintos entre si e distintos dos dois iguais.

Quaisquer cartões que obedecerem essas regras podem ser usados para tertarmos exemplificar os números. Poderiam ser, por exemplo:

• 1, 1, 2, 3, 4
• 5, 0, 0, 7, 9
• 2, 5, 8, 9, 9

Na teoria da contagem, quando a ordem dos elementos importa, e usamos todos os elementos, temos uma permutação.

Pₙ = n!

Para chegar a essa fórmula usamos o princípio multiplicativo, onde verificamos quantas possibilidades temos em uma determinada casa, e retirando o elemento utilizado, quantos elementos sobram para a segunda casa e assim por diante.

No exercício proposto temos duas restrições:

• temos apenas dois elementos que servem na última casa (dois algarismos pares);
• temos a repetição de dois elementos.

A repetição faz com que tenhamos que dividir o resultado por 2!. Vamos representar o princípio multiplicativo, começando pela casa com restrição:

$\begin{array}{ccccccccc} \underline1&\cdot&\underline2&\cdot&\underline3&\cdot&\underline4&\cdot&\underline2\end{array}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~ ~~4! \cdot 2$

Assim, nossa permutação com repetição fica da seguinte maneira:

$P = \frac{4! \cdot 2}{2!}\\P = 4!\\P = 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot&1\\P = 24$

Veja mais sobre permutação com repetição em:

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