Question

Em um triângulo retângulo, um cateto mede 20 cm e sua projeção sobre a hipotenusa mede 10 cm. determine a hipotenusa, a medida do outro cateto e a altura?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

b² = am

20² = 10a

400 = 10a

a = 400/10

a = 40

c² = a² - b²

c² = 40² - 20²

c² = 1600 - 400

c² = 1200

c = √1200

c = 10√12

c = 20√3

bc = ah

20×20√3 = 40h

400√3 = 40h

h = 400√3/40

h = 10√3

Answer 2

Para o triângulo retângulo descrito, as medidas são:

$\large Hipotenusa = 40~cm$

$\large O~outro~cateto ~= 20\sqrt{3}$

$\large Altura = 10\sqrt{3} ~cm$

Vamos lembrar de algumas fórmulas definidas pelo Teorema de Pitágoras:

$\large a^2 = b^2 + c^2$

$\large b^2 = a~.~m$

$\large c^2 = a~.~n$

$\large h^2 = m~.~n$

$\large a = m + n$

Com:

$\large a = Hipotenusa~ (maior~ lado ~do~ tri\hat{a}ngulo)$

$\large b = Cateto$

$\large c = Outro~ cateto$

$\large m = Proj. ~de~b~sobre~a~hipotenusa$

$\large n = Proj. ~de~c~sobre~a~hipotenusa$

$\large h = Altura$

Vamos anotar os dados que temos:

$\large b = 20 ~cm$

$\large m = 10 ~cm$

$\large b^2 = a.m$

$\large 20^2 = a.10$

$\large 400 = 10a$

$\large a = \dfrac{400}{10}$

$\large \boxed{a = 40~cm}$ ⇒ Hipotenusa

se a hipotenusa = 40 cm, então podemos calcular a projeção do outro cateto:

$\large a = m + n$

$\large 40 = 10 + n$

$\large n= 40 - 10$

$\large \boxed{n = 30~cm}$ Proj de c sobre a

E o outro cateto

$\large c^2 = a~.~n$

$\large c^2 = 40~.~30$

$\large c^2 = 1200$

$\large c = \sqrt{1200}$       fatorando 1200 = 2².2².5².3

$\large c = \sqrt{2^2.2^2.5^2.3}$

$\large c= 2~.~2~.~5~. \sqrt{3}$

$\large \text { c = \boxed{20\sqrt{3} ~cm} }$

√

Agora só falta a altura:

$\large h^2 = m~.~n$

$\large h^2 = 10~.~30$

$\large h^2 = 300$

$\large h = \sqrt{300}$        fatorando 300 = 2².5².3

$\large h = \sqrt{2^2.5^2.3}$

$\large h= 2~.~5~. \sqrt{3}$

$\large \text { \boxed{h= 10 \sqrt{3} ~cm } }$  ⇒ Altura

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