Question

Em um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 13 cm, sabe-se que um cateto é 7 cm maior que o outro. Monte uma equação usando o Teorema de Pitágoras, resolva-a e determine a medida do maior cateto.

Answer 1

Resposta:

O maior cateto apresenta medida de 12 cm

Explicação passo-a-passo:

Para resolver esse exercício utilizando o Teorema de Pitágoras, primeiramente é necessário determinar as medidas dos catetos (de medidas b e c) em função de x. Sabemos que um cateto é 7 cm maior que o outro. Sendo assim,

$b=x\text{ cm}$

$c = (x+7)\text{ cm}$

O Teorema de Pitágoras é dada pela equação:

$a^2=b^2+c^2$

onde b e c são as medidas dos catetos e a é medida da hipotenusa. Substituindo os valores dados pelo enunciado e resolvendo a equação de 2° grau:

$a^2=b^2+c^2$

$(13\text{ cm})^2=(x\text{ cm})^2+[(x+7)\text{cm}]^2$

$x^2+(x+7)^2=13^2$

$x^2+x.x+x.7+7.x+7.7=13.13$

$x^2+x^2+7x+7x+49=169$

$2x^2+14x+49-169=0$

$2x^2+14x-120=0$

$\Delta=(14)^2-4.2.(-120)=196+960=1156$

$x_1=\frac{-14+\sqrt{1156} }{2.2}= \frac{-14+34}{4}=\frac{20}{4}=5$

$x_2=\frac{-14-\sqrt{1156} }{2.2}= \frac{-14-34}{4}=\frac{-48}{4}=-12$

Após a resolução da equação, temos dois valores para x, porém como não é possível adotar uma medida de lado com tamanho negativo, vamos adotar o valor de x como 5. Agora, podemos determinar a medida do maior cateto:

$c = (x+7)\text{ cm}=(5+7)\text{ cm}=12\text{ cm}$

Portanto, o maior cateto apresenta medida de 12 cm, enquanto que o menor mede 5 cm.

Obs.: Poderíamos ter escolhido o cateto maior com a medida x e seria obtido diretamente a sua medida após a resolução da equação de 2° grau. Porém, vale ressaltar que a medida do cateto menor seria (x-7) cm, visto que ele é 7 cm menor que o outro cateto.