Question

Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. Determine as medidas dos catetos desse triângulo. a)2√21 e 4√7 b)2√7 e 4√21 c)4√21 e 2√7 d)6√21 e 4√7 e)√21 e √7

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~2\sqrt{21}~e~4\sqrt{7}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades estudadas sobre o triângulo retângulo.

Observe a imagem em anexo: temos o triângulo retângulo de catetos $b$ e $c$ e hipotenusa $a$, tal que as projeções destes catetos sobre a hipotenusa medem, respectivamente, $m$ e $n$.

Facilmente, podemos ver que $a=m+n$.

Utilizando o Teorema de Pitágoras, sabemos que $a^2=b^2+c^2$

Porém, ao determinarmos a altura relativa à hipotenusa, formamos dois dois triângulos retângulos, um tem catetos $h,~m$ e hipotenusa $b$ e outro tem catetos $h,~n$ e hipotenusa $c$.

Basicamente, temos o seguinte sistema de equações:

$\begin{cases} b^2=h^2+m^2\\ c^2=h^2+n^2\\\end{cases}$

Substituindo estas expressões no que tínhamos inicialmente ($a^2=b^2+c^2$), temos:

$a^2=h^2+m^2+h^2+n^2$

Substituindo $a=m+n$, temos

$(m+n)^2=m^2+2h^2+n^2$

Expandindo o binômio, temos

$m^2+2mn+n^2=m^2+2h^2+n^2$

Comparando os termos, vemos que $2h^2=2mn$, dessa forma:

$h^2=mn$.

Substituindo esta expressão em nosso sistema de equações, temos

$\begin{cases} b^2=mn+m^2\\ c^2=mn+n^2\\\end{cases}$

Fatorando estas expressões, temos:

$\begin{cases} b^2=m\cdot (m+n)\\ c^2=n\cdot(m+n)\\\end{cases}$

Como $a=m+n$, finalmente temos:

$\begin{cases} b^2=a\cdot m\\ c^2=a\cdot n\\\end{cases}$

Voltemos para a nossa questão: Temos as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa, valendo $6~cm$ e $8~cm$.

Isto significa que a hipotenusa mede $a=6+8=14~cm$

Substituindo estes dados em nosso sistema de equações, teremos:

$\begin{cases} b^2=14\cdot 6\\ c^2=14\cdot 8\\\end{cases}$

Multiplique os valores

$\begin{cases} b^2=84\\ c^2=112\\\end{cases}$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados das equações, assumindo as soluções positivas

$\begin{cases} b=\sqrt{84}\\ c=\sqrt{112}\\\end{cases}$

Decompondo o radical em fatores primos, observamos que $84=2^2\cdot 3\cdot 7$ e $112=2^4\cdot7$, logo

$\begin{cases} b=2\sqrt{21}\\ c=4\sqrt{7}\\\end{cases}$

Estas são as medidas dos catetos deste triângulo e é a resposta contida na letra a).