Question

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 13 cm e o perímetro, 30 cm. Determine as medidas dos catetos desse triângulo. 

Answer 1

Chamemos os catetos de a e b

a + b = 30 - 13
a + b = 17

(a + b)² = 17²
a² + b² + 2ab = 289

Por outro lado, sendo h a hipotenusa:

a² + b² = 13²
a² + b² = 169

Substituindo na equação acima;

169 + 2ab = 289
2ab = 289 - 169
2ab = 120
ab = 60

Sabendo que a + b = 17   e
                       ab = 60

Escrevemos (e resolvemos) a equação:

x² - 17x + 60 = 0
Δ = (-17)² - 4 . 1 . 60
Δ = 289 - 240
Δ = 49

x = (17 +- 7) / 2

x' = 5
x" = 12

As medidas dos catetos deste triângulo são: 5 e 12

Answer 2

Vamos chamar os catetos de $b$ e $c$.

Como o perímetro desse triângulo retângulo é 30 cm e sua hipotenusa mede 13 cm, temos $b+c=30-13=17$.

Pelo Teorema de Pitágoras, $b^2+c^2=13^2~\Rightarrow~b^2+c^2=169$.

Por outro lado, observe que:

$(b+c)=17~~\Rightarrow~~(b+c)^2=17^2$

$\underbrace{b^2+c^2}_{169}+2bc=289$

$2bc+169=289~~\Rightarrow~~2bc=120~~\Rightarrow~~bc=60~(i)$.

Da equação $b+c=17$, podemos escrever, $b=17-c$.

Substituindo em (i):

$(17-c)c=60~~\Rightarrow~~17c-c^2=60~~\Rightarrow~~c^2-17c+60=0$

$\Delta=-(-17)^2-4\cdot1\cdot60=289-240=49$

$c=\dfrac{-(-17)\pm\sqrt{49}}{2}=\dfrac{17\pm7}{2}$

$c'=\dfrac{17+7}{2}=12$  

$b'=17-12=5$

$c"=\dfrac{17-7}{2}=5$

$b"=17-5=12$

Os catetos desse triângulo retângulo medem 12 e 5 cm.