Question

em um triangulo retangulo a hipotenusa mede 11 cm e a altura relativa a hipotenusa mede 3√2cm determine as medidas M e N dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa

Answer 1

Olá

Sabemos que em um triângulo retângulo, existem fórmulas para definir altura, hipotenusa, projeção dos catetos, etc.

Usaremos duas, que definem hipotenusa e altura, utilizando estas projeções, as quais estamos buscando

$\boxed{\mathbf{m\cdot n=h^{2}}}\\\\\\ \boxed{\mathbf{m + n= a}}$

Onde m e n são as incógnitas que definem as projeções

Usemos ambas em um sistema do 2° grau, substituindo os valores respectivos na hipotenusa e altura do triângulo retângulo

$\begin{cases} m + n = 11\\ m\cdot n = (3\sqrt{2})^{2}\\ \end{cases}$

Potencializemos o elemento do termo inferior

$\begin{cases} m + n = 11\\ m \cdot n = 18\\ \end{cases}$

Isolemos uma das incógnitas, podendo qualquer uma delas ser do termo superior ou inferior

Mude a posição de uma das incógnitas do termo superior, alterando seu sinal

$m= 11 - n$

Substitua o valor desta incógnita no elemento do termo inferior

$(11 - n)\cdot n = 18$

Multiplique os termos, aplicando a distributiva

$11n - n^{2} = 18$

Mude a posição dos termos para um lado da igualdade, a fim de igualar a equação a zero

$11n - n^{2} -18=0$

Reorganize os termos, de acordo com os graus de cada elemento

$-n^{2} + 11n - 18 = 0$

Multiplique todos os elementos por um fator (-1), a fim de simplificar a equação

$-n^{2} + 11n - 18 = 0~~(-1)\\\\\ n^{2} - 11n + 18 = 0$

Use a fórmula de bháskara para descobrir o valor da incógnita

$\mathbf{n = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}}$

Descubra quais são os coeficientes, sabendo que esta é uma equação $\mathbf{ax^{2} + bx + c = 0}$

São eles:
$\begin{cases} a = 1\\ b = -11\\ c = 18\\ \end{cases}$

Saiba que o discriminante delta equivale a seguinte expressão algébrica

$\Delta = b^{2} - 4ac$

Substitua o valor dos coeficientes e do discriminante delta na fórmula de bháskara

$n= \dfrac{-(-11)\pm\sqrt{(-11)^{2} - 4\cdot 1\cdot 18}}{2\cdot1}$

Simplifique as multiplicações, os sinais e as subtrações

$n=\dfrac{11\pm\sqrt{121 - 72}}{2}\\\\\\ n = \dfrac{11\pm\sqrt{49}}{2}\\\\\\ n =\dfrac{11\pm7}{2}$

Separe as raízes

$n_1 =\dfrac{11+7}{2}~~~~~ n_2 =\dfrac{11-7}{2}$

Simplifique as frações

$n_1 = \dfrac{18}{2}~~~~~ n_2 = \dfrac{4}{2}\\\\\\ \boxed{\mathbf{n_1=9}}~~~~~ \boxed{\mathbf{n_2 = 2}}$

Substitua os valores encontrados no termo superior

$m= 11 - n$

Como existem dois valores a serem tomados por uma incógnita, a outra também poderá tomar dois valores

$m_1 = 11 - n_1~~~~~ m_2 = 11 - n_2$

Substitua os respectivos valores

$m_1 = 11 - 9~~~~~ m_2 = 11 - 2$

Simplifique as subtrações

$\boxed{\mathbf{m_1=2}}~~~~~ \boxed{\mathbf{m_2 = 9}}$

O valor das projeções podem ser dois, enquanto não temos acesso ao valor dos catetos

$\boxed{\mathbf{(m_1,~n_1)~(2,~9)~|~(m_2,~n_2)~(9,~2)}}$