Question

Em um triângulo ABC , um ponto D do lado BC é equidistante os três vértices do triângulo . Classifique , quanto aos ângulos , esse triângulo

Answer 1

Se o ponto D pertence ao lado BC e a distância dele até os três vértices é a mesma, temos:
DA = DB = DC [1]
O ponto D divide o triângulo ABC em dois outros triângulos:
ADB e ACD.
Estes dois triângulos são isósceles, pois, como vimos em [1]:
- No triângulo ADB, DA = DB
- No triângulo ACD, DC = DA
Num triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais e, então:
- No triângulo ADB: ∡ DBA = ∡ DAB
- No triângulo ACD: ∡ ACD = ∡ DAC
Como o lado DA é comum aos dois triângulos, estes triângulos são congruentes e, portanto, os seus ângulos são iguais:
∡ DBA = ∡ DAB = ∡ ACD = ∡ DAC (como os ângulos são iguais, vamos chamá-los de α)
Como estes 4 ângulos são os ângulos internos do triângulo ABC, e como sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º:
∡ DBA + ∡ DAB + ∡ ACD + ∡ DAC = 180º, ou:
4 × α = 180º
α = 180º ÷ 4
α = 45º

Assim, no triângulo ABC, temos os seguintes valores para os seus ângulos:
∡ B = ∡ DBA = 45º
∡ C = ∡ ACD = 45º
∡ A = ∡ DAB + ∡ DAC = 45º + 45º = 90º

Então, o triângulo ABC é um triângulo retângulo isósceles.

Em anexo, figura que resume o descrito acima.