Question

Em um triângulo ABC, os ângulos B e C medem 75º cada um. Sendo A(1,1) e B (-1,5), calcular as coordenadas do vértice C.

Answer 1

Como os ângulos B e C são iguais e medem 75°, então o triângulo ΔABC é isósceles.

O ângulo A mede 180 - 2.75 = 30°.

Por ser isósceles, a distância de A a B tem que ser igual a distância de A a C.

Sendo C = (x,y), temos que:

(-1 - 1)² + (5 - 1)² = (x - 1)² + (y - 1)²

(x - 1)² + (y - 1)² = 20 (*)

Utilizando os vetores AC = (x - 1, y - 1) e AB = (-2,4), podemos utilizar a fórmula de ângulo entre vetores:

$cos(30) = \frac{<AC,AB>}{|AC|.|AB|}$

Assim,

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-2(x-1)+4(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}.\sqrt{20}}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-2x+2+4y-4}{\sqrt{20}.\sqrt{20}}$

10√3 = -2x + 4y - 2

5√3 = -x + 2y - 1

x = 2y - 1 - 5√3 (**)

Substituindo (**) em (*):

(2y - 2 - 5√3)² + (y - 1)² = 20

5y² - 20√3y - 10y + 20√3 + 60 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau pela fórmula de Bháskara encontraremos como resultado y = 2√3 ou y = 2 + 2√3.

Se y = 2√3, então x = -1 - √3.

Se y = 2 + 2√3, então x = 3 - √3.

Portanto C = (-1 - √3, 2√3) ou C = (3 - √3, 2 + 2√3)