Question

) Em um triângulo ABC, o ponto M é tal que 3BM = 5MC. Escreva O' vetor AM em função dos vetores AB e AC.

Answer 1

Como 3BM = 5 MC, então $BM = \frac{5}{3}MC$.

Sabemos que BM + MC = MC. Sendo assim, temos que:

$BC = \frac{5}{3}MC + MC$

$BC = \frac{8}{3}MC$ ou seja, $MC = \frac{3}{8}BC$ e $BM = \frac{5}{8}BC$.

Além disso, temos que:

AM + MB = AB ∴ AM - BM = AB (*)

e

AM + MC = AC (**).

Somando as equações (*) e (**), obtemos:

2AM + MC - BM = AB + AC

$2AM + \frac{3}{8}BC - \frac{5}{8}BC = AB + AC$

$2AM - \frac{2}{8}BC = AB + AC$.

Como AB + BC = AC, então BC = AC - AB.

Logo,

$2AM = AB + AC + \frac{2}{8}(AC - AB)$

$2AM = AB + AC + \frac{2}{8}AC - \frac{2}{8}AB$

$2AM = \frac{6}{8}AB + \frac{10}{8}AC$

Portanto, podemos escrever o vetor AM em função dos vetores AB e AC da seguinte maneira:

$AM = \frac{3}{8}AB + \frac{5}{8}AC$.