Em um triângulo ABC, "a" é a base, "h" a altura relativa à esta base, e "b" o lado oposto ao ângulo de 45º. Se a + h = 4, então o valor mínimo de b^2 é?
Soluções para a tarefa
Vamos dizer que H é o ponto no pé da altura h.
Observe que se o ângulo ABH mede 45° então o ângulo BAH também mede 45° pois o ΔABH é retângulo. Então ΔABH é um triângulo retângulo isósceles, portanto AH = BH = h
Daí podemos determinar a medida do segmento CH.
CH = a − h
B——————-H—————C
h | a − h
Desejamos determinar o valor de b².
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo ACH.
b² = h² + (a − h)²
É dado que a + h = 4, portanto:
a = 4 − h Vamos substituir esse valor na equação anterior.
b² = h² + (a − h)²
b² = h² + (4 − h − h)²
b² = h² + (4 − 2h)² desenvolvendo:
b² = h² + (16 −2×4×2h + 4h²)
b² = h² + (16 −16h + 4h²)
b² = h² + 16 −16h + 4h²
b² = 5h² + 16 −16h
b² = 5h² −16h + 16
Então b² vale (5h² −16h + 16).
Esse valor é uma função do segundo grau que é representado por uma parábola de concavidade para cima pois o coeficiente do termo ao quadrado (h²) é positivo, portanto essa função tem um valor mínimo que pode ser determinado calculando o valor da ordenada do vértice da função.
O cálculo do valor da ordenada do vértice da função pode ser feito por vários processos dependendo do nível que o aluno está estudando. Vamos supor que você já tenha aprendido a fórmula:
Δ
yᵥ = − ——
4a
b² − 4ac
yᵥ = − —————
4a
Da equação y = 5h² −16h + 16 temos
a = 5
b = −16
c = 16
(− 16)² − 4 · 5 · 16
yᵥ = − —————————
4 · 5
256 − 320
yᵥ = − ——————
20
− 64
yᵥ = − ———
20
16
yᵥ = ———
5
O valor mínimo de b² é 16/5.
Aprendi com meu pai, tendi nada mas.. tá ai!
Espero ter ajudado! -3-
O valor mínimo de b² será: 16 / 5.
Como funciona a Geometria Plana?
A Geometria Plana (conhecida também como Elementar/Euclidiana) tem como premissa básica analisar as diferentes formas dos objetos, baseado em três conceitos básicos, sendo eles: Ponto, Reta e Plano.
Então se o nosso triângulo ABC possui "a" como base, "H" como altura relativa e "b" como lado oposto do ângulo de 45, teremos:
- A + h = 4
h = 4 - a (I)
Logo, se AB for igual a "C":
- AB . sen45º = h
c . (√2/2) = h
c = h . √2
c = (4 - a) . √2
Portanto:
- c² = 2 . (4 - a)²
c² = 32 - 16 . a + 2 . a²
b² = a² + c² - 2 . a . c . cos45º
b² = a² + (32 - 16 . a + 2 . a²) - 2 . a . (4 - a) . (32 - 16 . a + 2 . a²2 / 2)
b² = 5 . a² - 24 . a + 32
Então sabendo que a parábola estará com a concavidade projetada para cima, teremos que o mínimo da função que ocorre no vértice será de:
(b²)min = (4 . 5 . 32 - 24²) / 4 . 5 = 16 / 5
Para saber mais sobre Geometria Plana:
brainly.com.br/tarefa/20622211
Espero ter ajudado nos estudos e bebam água :)))
#SPJ2
