Question

em um triângulo abc, â = 30°, b= 105º e bc = 4 cm. assim, ac = __ cm.

Answer 1

Como resposta do exercício proposto que envolvia lei dos senos e cossenos temos $y=2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$

Lei dos cossenos e cossenos

Vamos considerar um triângulo qualquer ABC, cuja altura AH, relativa ao vértice A, mede h. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AHC, temos: $b^2=h^2+x^2$. Como $x\:=\:a\:-\:y$, podemos reescrever a sentença $b^2\:=\:h^2\:+\:x^2$, da seguinte forma: $b^2\:=\:h^2\:+\:\left(a\:-\:y\right)^2$. Agora observando a o triângulo AHB, podemos extrair as relações

• $h\:=\:c\cdot sen\left(\beta \right)\:e\:y\:=\:c\cdot cos\left(\beta \right)$

Daí teremos o seguinte:

$b^2=\left(c\cdot sen\left(\beta \right)\right)^2+\left(a-c\cdot cos\left(\beta \right)\right)^2$

$\Leftrightarrow b^2=c^2\cdot sen^2\left(\beta \right)+a^2-2\cdot a\cdot c^2\cdot cos^2\left(\beta \right)$

$\Leftrightarrow b^2=c^2\left(sen^2\left(\beta \right)+cos^2\left(\beta \right)\right)+a^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\left(\beta \right)$

Como $sen^2\left(\beta \right)+cos^2\left(\beta \right)=1$ , então $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\left(\beta \right)$.

Podemos utilizar essa mesma ideia para as alturas relativas aos demais  ângulos.

Podemos assim anunciar a lei dos cossenos

"Em um triângulo qualquer; o quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do produto dessas pelo cosseno do ângulo formado por esses lados".

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é anunciada da seguinte forma

$\frac{a}{sen\left(A\right)}=\frac{b}{sen\left(B\right)}=\frac{c}{sen\left(C\right)=2R}$

Sendo assim podemos resolver o exercício.

Primeiramente vamos determinar o valor do lado AB

$\frac{4}{sen30}=\frac{x}{sen45}\rightarrow \:\frac{4}{\frac{1}{2}}=\frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\rightarrow 8=\frac{2x}{\sqrt{2}}\rightarrow 2x=8\sqrt{2}\rightarrow x=4\sqrt{2}$

Agora vamos determinar o valor de AC

$\left(AC\right)^2=\left(AB\right)^2+\left(CB\right)^2-2\cdot AB\cdot CB\cdot cos\left(105\right)$

$y^2=\left(4\sqrt{2}\right)^2+4^2-2\cdot 4\sqrt{2}\left(\sqrt{2}\:-\:\sqrt{6}\right)$

$y^2=32+16-8\sqrt{2}\left(\sqrt{2}\:-\:\sqrt{6}\right)$

$y^2=32-16\sqrt{3}$

$\mathrm{Para\:}x^2=f\left(a\right)\mathrm{\:as\:solucoes\:sao\:}x=\sqrt{f\left(a\right)},\:\:-\sqrt{f\left(a\right)}$

$y=2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$

Saiba mais sobre lei dos senos e leis dos cossenos:https://brainly.com.br/tarefa/1420367

#SPJ11