Question

Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz de ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110 º. Determine o maior ângulo do trapézio

Answer 1

O ângulo maior do trapézio vale 130°.

Ângulos do trapézio

Primeiramente, sabendo que é um trapézio retângulo, isso significa que dos quatro ângulos do trapézio, dois deles são ângulos retos, ou seja, que valem 90 graus. Com isso, chamaremos de α o ângulo agudo e de β o maior ângulo, que queremos descobrir. Essa definição pode ser vista na figura 1.

Com isso, de acordo com o enunciado, traçamos a bissetriz dos ângulos reto e α que formam um ângulo de 110 graus, representamos isso na figura 2. A definição da bissetriz é a reta que parte do vértice dividindo o ângulo na exata metade, logo, formamos um triângulo com os 3 ângulos, 110°, 45° e α/2. Utilizando a propriedade dos ângulos de um triângulo, que diz que a soma dos ângulos internos vale 180°, temos:

$\frac{\alpha}{2} + 110 + 45 = 180$  ∵  $\frac{\alpha}{2} = 180 - 155$  ∵  $\frac{\alpha}{2} = 25$  ∵  $\alpha = 50$

Logo, descobrimos que o ângulo α vale 50°. Com isso, temos o trapézio onde três dos ângulos são conhecidos, e pela propriedade dos quadriláteros, a soma dos ângulos internos vale 360°. Portanto, podemos calcular o valor de β através desta propriedade, podemos ver esta situação na figura 3. Temos:

$90 + 90 + 50 + \beta = 360$  ∵  $\beta = 360 - 230$  ∵  $\beta = 130$

Logo, o maior ângulo do trapézio vale 130°.

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