Question

Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pontos com coordenadas(1, 2) e (x, 7), com x sendo um número real, estão no primeiro quadrante e distam 13u.c. entre si. Qual o valor de x.

Answer 1

13 = √(x-1)² + (7-2)²
13 = √x² - 2x + 1 + 25
13² = x² - 2x + 26 = 0
x² - 2x - 143 = 0
x - 2+-√(-2)² - 4.1.143
             2.1
x = 2 +- √4 + 572
            2
x = 2 +- √576
           2
x = 2 +- 24
           2
x1 = 2 + 24 ⇒ x1 = 13
           2

x2 = 2 - 24 ⇒ x2 = - 11
           2

Como os pontos estão no 1° quadrante, o x é positivo, logo x = 13

Answer 2

O valor de x é igual a 13.

Vamos lembrar da definição de distância entre dois pontos:

Sejam A = (xa, ya) e B = (xb, yb) dois pontos do plano cartesiano.

A distância entre A e B é calculada por:

$d=\sqrt{(xb-xa)^2+(yb-ya)^2}$.

Sendo assim, vamos considerar que A = (1,2) e B = (x,7).

Temos que a distância entre A e B é igual a 13.

Então,

$13=\sqrt{(x-1)^2+(7-2)^2}$

Elevando ambos os lados ao quadrado, podemos "eliminar" a raiz:

13² = (x - 1)² + 5²

169 = x² - 2x + 1 + 25

x² - 2x - 143 = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-2)² - 4.1.(-143)

Δ = 4 + 572

Δ = 576

$x=\frac{2+-\sqrt{576}}{2}$

$x=\frac{2+-24}{2}$

$x'=\frac{2+24}{2}=13$

$x''=\frac{2-24}{2}=-11$

Como os pontos estão no primeiro quadrante, então x tem que ser igual a 13.