Question

Em um quadrilátero ABCD, no qual os ângulos ABC e ADC são retos, tem-se que o ângulo ACD é o dobro do ângulo ACB, e também AB = 2. Calcule a medida de AD, sabendo que é um valor inteiro.

Answer 1

Os triângulos ABC e ADC tem uma mesma hipotenusa "a" em comum. Chamando os ângulos ACB e ACD de z e 2z, respectivamente, obtemos as seguintes relações (figura em anexo):
 
sen z = 2/a  ⇒  a = 2/(sen z)
sen 2z = x/a  ⇒  a = x/(sen 2z)
 
Igualando as equações:
x/(sen 2z)  = 2/(sen z)
(sen z).x = 2.(sen 2z) 
(sen z).x = 2.2.(sen z).(cos z)
cos z = x/4
 
Segundo o enunciado, x é um número inteiro. Sabemos que os ângulos z e 2z são agudos (menores do que 90 graus) e que o cosseno de um ângulo agudo está entre 0 e 1. Portanto, x admite 3 valores apenas: 1, 2 ou 3.
 
Se x = 2, cos z = 1/2 e z = 60 graus, o que resultaria em um ângulo 2z = 120 graus. Como sabemos que 2z é menor do que 90 graus, cos z tem que assumir o único valor possível maior do que 1/2.
 
Logo:
 
cos z = 3/4
x/4 = 3/4
x = 3.