Em um quadrado ABCD de lado 10 metros, inscreve-se um outro quadrado ABCD de modo que AA=BB=CC=DD=x. Determine o valor de x que torna mınima a ́area do quadrado ABCD
Soluções para a tarefa
Resposta: x = 5.
Explicação passo-a-passo:
Subtraindo-se da área do quadrado ABCD, as áreas dos 4 triângulos retângulos da figura, pode-se determinar a área S do quadrado A'B'C'D'.
A área de cada um desses triângulos é:
A = x·(10 - x)/2
A = (- x² + 10x)/2
Como há 4 triângulos, temos: 4·(- x² + 10x)/2.
Área dos triângulos = 2(-x² + 10x) = -2x² + 20x
A área do quadrado A'B'C'D' é:
S = 100 - (- 2x² + 20x)
S = 100 + 2x² - 20x
S = 2x² - 20x + 100
A área é expressa por uma função do 2° grau (a = 2; b = - 20; c = 100)
Como a > 0, a função tem concavidade voltada para cima. Assim, o valor mínimo da área é dado pelo Yv. O ponto de mínimo é dado pelo Xv.
Xv = - b/2a
Xv = - (-20)/2.2
Xv = 20/4
Xv = 5
Portanto, o valor de x que torna mínima a ́área do quadrado A'B'C'D' é 5.
