Question

em um polígono convexo, cada angulo interno equivale ao triplo do angulo externo adjacente. quantas diagonais possui esse polígono?

Answer 1

Em um polígono convexo, a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente é igual a 180º.
Como temos o ângulo interno (Ai) medindo três vezes o valor do ângulo externo (Ae), teremos:

Ai + Ae = 180º
Ai = 3Ae
3Ae + Ae = 180º
4Ae = 180º
Ae = 180º ÷ 4
Ae = 45º
Ai = 3 × 45º
Ai = 135º

O número de diagonais de um polígono de n lados é igual a:

d = n(n - 3) ÷ 2 [1]

Então, precisamos obter o número de lados (n) do polígono cujo ângulo interno (α) mede 135º:  

α = 180º (n - 2) ÷ n
135º = 180º (n - 2) ÷ n
135n - 180n = - 360
45n =360
n = 360 ÷ 45
n = 8

Substituindo em [1] o valor de n:

d = 8 (8 - 3) ÷ 2
d = 20

R.: O polígono possui 20 diagonais