Question

Em um plano cartesiano xy, uma circunferência de centro no ponto O(4, –3) é tangente à reta de equação x – y + 3 = 0. Se essa circunferência tem equação x2 + y2 + px + qy + r = 0, o valor de (p + q – r) é: a) 21 b) 23 c) 25 d) 27 e) 31

Answer 1

Resposta:

b) 23

Explicação passo-a-passo:

Seja s = x - y + 3 = 0  a reta dada. O coeficiente angular de s é:

$x-y+3=0\\\\-y=-x-3 \hspace{15} (-1)\\\\y=x+3$

Nessa equação reduzida de s vemos que o seu coeficiente angular é 1.

Assim, qualquer reta perpendicular a s tem coeficiente angular igual a - 1.

Então, a equação da reta perpendicular a s e que passa pelo ponto            O (4, - 3) é:

$y+3=-1\cdot(x-4)\\\\y+3=-x+4\\\\y+3+x-4=0\\\\x+y-1=0$

Essa última reta vou chamar de v = x + y - 1 = 0.

A interseção entre as retas s e v nos dá um ponto da circunferência:

$\left \{ {{x-y+3=0 \atop {x+y-1=0}} \right.$

Somando membro a membro as duas equações, temos:

$2x+2=0\\\\2x=0-2\\\\2x=-2\\\\x=\frac{-2}{2} \\\\x=-1$

Substituindo x = - 1 em y = x + 3, temos y = - 1 + 3 = 2.

Logo, o ponto de interseção entre as retas s e v é (- 1, 2).

A circunferência tem centro O (4, -3) e passa pelo ponto (- 1, 2). Então, a distância entre esses pontos me dá o raio da circunferência.

$r=\sqrt{(4-(-1))^2+(-3-2)^2}=\sqrt{(4+1)^2+(-5)^2} = \sqrt{5^2+25} =\sqrt{25+25} =\sqrt{50}$

A equação da circunferência de centro O (4 , -3) e $r=\sqrt{50}$ é:

$(x-4)^2+(y-(-3))^2=(\sqrt{50} )^2\\\\(x-4)^2+(y+3)^2=50\\\\x^2-8x+16+y^2+6y+9-50=0\\\\x^2-8x+y^2+6y-25=0\\\\x^2+y^2-8x+6y-25=0$

Comparando a equação $x^2+y^2-8x+6y-25=0$ com a equação $x^2+y^2+px+qy+r=0$, temos:

p = - 8, q = 6 e r = -25. Substituindo esses valores na expressão p + q - r, temos:

$p+q-r=-8+6-(-25)=-8+6+25=23$

Veja a figura abaixo.

Answer 2

Resposta:

b) 23

Explicação passo-a-passo:

Se a reta é tangente a circunferência, podemos concluir que a distância (D) entre a reta (s) e o centro (c) da circunferência é igual a medida do raio. Podemos então descobrir o raio através do cálculo de distância entre reta ponto e reta.

r = Dsc = $\frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} } }$ , onde a, b e c são os coeficientes da equação da reta x - y + 3 = 0 e x e y são as coordenadas do ponto em questão, no caso C.

Portanto, temos:

r = Dsc = $\frac{|1*4 + (-1)*(-3) + 3|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2} } }$

r = Dsc = $\frac{|4 + 3 + 3|}{\sqrt{1 + 1 } }$

r = Dsc = $\frac{10}{\sqrt{2} } = \frac{10\sqrt{2} }{\sqrt{2} * \sqrt{2} } = \frac{10\sqrt{2} }{2} = 5\sqrt{2}$

Agora, iremos desenvolver a equação reduzida da circunferência para a equação geral.

$r^{2} = (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2}\\(5\sqrt{2})^{2} = x^{2} - 8x + 16 + y^{2} + 6y + 9\\50 = x^{2} - 8x + 16 + y^{2} + 6y + 9\\x^{2} - 8x + 16 + y^{2} + 6y + 9 - 50 = 0\\x^{2} - 8x + y^{2} + 6y - 25 = 0$

Portanto, temos que:

p = -8, q = 6 e r = -25

Sendo assim, a resposta para -8 + 6 - (-25) = 23.