Question

Em um plano cartesiano, represente: •Um ponto A distante 5 unidades do eixo das abscissas; •Um ponto B distante 5 unidades do eixo das ordenadas; •Um ponto C de coordenadas(5,3); •Um ponto D de coordenadas(2,5). A) Que coordenadas A pode assumir de modo que a medida do segmento AD seja de 3 unidades? B) que coordenadas B pode assumir de modo que a medida do segmento BC seja 6 unidades? C) Que coordenadas do ponto A e B podem assumir de modo a obter um trapézio isósceles ABCD? Me ajudem por favor...☆

Answer 1

Antes de resolver a questão vamos rever alguns conceitos:

Distância entre dois pontos:

$\sqrt{(x_1 -x_0) {}^{2} + ( y_1 - y_0) {}^{2} }$

Equação de segundo grau:

$a {x}^{2} + bx + c = 0$

Desde que :

$a \ne0$

Relações de Girard

Soma das raízes:

$\fbox{s = \dfrac{ - b}{a}}$

Produto das raízes

$\fbox{p = \dfrac{c}{a}}$

Quadrado da diferença

$(x - y) {}^{2} = {x}^{2} +</p><p>- 2(x)(y) + {y}^{2}$

Propriedades do trapézio isósceles

O trapézio isósceles tem dois lados opoatos iguais (não paralelos ) e suas diagonais também iguais

a) Como a distância do ponto A ao eixo das absissas ou eixo x é igual a 5 temos :

A= (x;5)

D(2;5)

$\fbox{ \overline{AD}= 3}$

Aplicando a distância entre dois pontos:

$\sqrt{(2 - x) {}^{2} + (5 - 5) {}^{2} }$

$\sqrt{(2 - x) {}^{2} } = 3$

Aplicando o quadrado da diferença

$(2 - x) {}^{2} = {2}^{2} - 2(2)(x) + {x}^{2} = 9$

$4 - 4x + {x}^{2} = 9 \\ {x}^{2} - 4x = 5 \\ {x}^{2} - 4x - 5 = 0$

Aplicando a relação de Girard

soma :

$\dfrac{ - ( - 4)}{1} = 4$

Produto :

$\dfrac{ - 5}{1} = - 5$

Dois números que somam 4 e o produto é 5 são : x=-5 e x=-1

Então A= (5;5) ou (-1;5)

b) O raciocínio é o mesmo .

Distância de B para os eixos da ordenadas ou eixo y é 5 então :

B= (5;y)

C= (5;3)

$\fbox{ \overline{BC} = 6}$

Aplicando a distância entre dois pontos:

$\sqrt{(5- 5)^{2}+(3 - y)^{2}} = 6$

$\sqrt{(0) {}^{2} +(3 - y) {}^{2} } = 6$

$(3 - y) {}^{2} = 36$

Aplicando o quadrado da diferença:

$(3 - y) {}^{2} = {3}^{2} - 2(3)(y) + {y}^{2} = 36 \\ 9 - 6y + {y}^{2} = 36 \\ {y}^{2} - 6y = 27 \\ {y}^{2} - 6y - 27 = 0$

Aplicando a relação de Girard

soma :

$\dfrac{ - ( -6)}{1} = 6$

Produto:

$\dfrac{ - 27}{1} = - 27$

Dois números que somados dá 6 e o produto dá -27

y= 9ou y=-3

Então B= (5;9) ou (5;-3)

C) Os lados :

$\fbox{ \overline{AD} = \overline{BC}}$

A= (x;5)

B= (5;y)

C=(5;3)

D=(2;5)

Aplicando a distância entre dois pontos:

$\sqrt{(2 - x) {}^{2} + (5 - 5) {}^{2} } = \sqrt{(5 - 5) {}^{2} + (3 - y) {}^{2} }$

$\sqrt{(2 - x) {}^{2}} = \sqrt{(3 - y) {}^{2} }$

$(2 - x) {}^{2} = (3 - y) {}^{2}$

$4 - 4x + {x}^{2} = 9 - 6y - + {y}^{2} \\ - 4x + {x}^{2} + 6y - {y}^{2} = 5$

As diagonais :

$\fbox{ \overline{AC} = \overline{BD}}$

$\sqrt{(5 - x) {}^{2} + (3 - 5) {}^{2} } = \sqrt{(2 - 5) {}^{2} + (5 - y) {}^{2} }$

Desenvolvendo :

$25 - 10x + {x}^{2} + 4 = 9 + 25 - 10y + {y}^{2}$

$- 10x + {x}^{2} + 10y - {y}^{2} = 5$

Igualando as duas equações:

$- 10x + 10y = - 4x + 6y \\ 4y = 6x \\ 2y = 3x$

$x = \dfrac{2y}{3}$

Ponto A:

$( \dfrac{2y}{3},5)$

Ponto B:

$(y,5)$

Aprenda mais em :

https://brainly.com.br/tarefa/25480169

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Espero ter ajudado!!!!!