Question

3) Considere o triângulo cujos vértices são A(2,0);B(-1,√3) e C(-1,-√3)
a)O ∆ABC é equilátero? Justifique sua resposta.
b)Determine a medida de uma mediana qualquer do triângulo ABC.

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo-a-passo:

$\mathsf{\overline{\rm AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm AB} = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (\sqrt{3} - 0)^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm AB} = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm AB} = \sqrt{9 + 3}}$

$\mathsf{\overline{\rm AB} = \sqrt{12}}$

$\mathsf{\overline{\rm AB} = \sqrt{3 \times 4}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\overline{\rm AB} = 2\sqrt{3}}}}$

$\mathsf{\overline{\rm AC} = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm AC} = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-\sqrt{3} - 0)^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm AC} = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm AC} = \sqrt{9 + 3}}$

$\mathsf{\overline{\rm AC} = \sqrt{12}}$

$\mathsf{\overline{\rm AC} = \sqrt{3 \times 4}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\overline{\rm AC} = 2\sqrt{3}}}}$

$\mathsf{\overline{\rm BC} = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm BC} = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - \sqrt{3})^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm BC} = \sqrt{(-1 + 1)^2 + (-2\sqrt{3})^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm BC} = \sqrt{(0)^2 + (-2)^2.3}}$

$\mathsf{\overline{\rm BC} = \sqrt{0 + 4 \times 3}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\overline{\rm BC} = 2\sqrt{3}}}}$

Logo, o triângulo é equilátero pois, $\mathsf{\overline{\rm AB} = \overline{\rm AC} = \overline{\rm BC}}$

Vamos calcular agora o ponto médio de $\overline{\rm BC}$

$\mathsf{M_{BC} = \{\dfrac{x_B + x_C}{2};\dfrac{y_B + y_C}{2}\}}$

$\mathsf{M_{BC} = \{\dfrac{-1 + (-1)}{2};\dfrac{\sqrt{3} + (-\sqrt{3})}{2}\}}$

$\mathsf{M_{BC} = \{\dfrac{-1 - 1}{2};\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}\}}$

$\mathsf{M_{BC} = \{-\dfrac{2}{2};\dfrac{0}{2}\}}$

$\mathsf{M_{BC} = \{-1;0\}}$

Vamos calcular a mediana partindo do vértice A ao ponto médio de $\overline{\rm BC}$

$\mathsf{\overline{\rm AM} = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm AM} = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (0 - 0)^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm AM} = \sqrt{(-3)^2 + (0)^2}}$

$\mathsf{\overline{\rm AM} = \sqrt{9 + 0}}$

$\mathsf{\overline{\rm AM} = \sqrt{9}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\overline{\rm AM} = 3}}} \leftarrow \textsf{Mediana}$