Question

Em um paralelepípedo de área total de 832 dm, as dimensões, formam em dm, uma progressão aritmética de razão 4.

a) Calcule a soma das medidas de todas as arestas

b) Calcule as medidas das diagonais das faces

c) Calcule a medida de cada diagonal do paralelepípedo

Answer 1

Como os lados estão em progressão aritmética de razão 4, então as dimensões são: x - 4, x e x + 4.

A área total de um paralelepípedo é igual a

At = 2(ab + ac + bc)

Logo,

832 = 2((x - 4)x + (x - 4)(x + 4) + x(x + 4))
416 = x² - 4x + x² - 16 + x² + 4x
432 = 3x²
x² = 144
x = 12

a) Os lados do paralelepípedo são: 8, 12 e 16.

Logo, 4(8 + 12 + 16) = 144

b) Temos 3 tipos de faces com lados 8 e 2, 8 e 16, 12 e 16.

Para calcular a diagonal de cada face, utilizaremos o Teorema de Pitágoras:

$d_1^2=8^2+12^2$
$d_1^2=64+144$
$d_1^2=208$
$d_1=4 \sqrt{13}$

$d_2^2=8^2+16^2$
$d_2^2=64+256$
$d_2^2=320$
$d_2=8 \sqrt{5}$

$d_3^2=12^2+16^2$
$d_3^2=144+256$
$d_3^2=400$
$d_3=20$

c) A diagonal do paralelepípedo é calculada pela raiz quadrada da soma dos quadrados das dimensões, ou seja,

$d= \sqrt{8^2+12^2+16^2}$
$d= \sqrt{64+144+256}$
$d= \sqrt{464}$
$d=4 \sqrt{29}$