Em um municipio, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o numero de eleitores dos candidato A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções:
A(t)=2.10^5(1,6)^t
B(t)=4.10^5 (0,4)^t
Considere as estimativas corretas e que t=0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2000. Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.
Soluções para a tarefa
20^5.(1,6)^t=40^5.(0,4)^t
1,6^t = 40^5
0,4^t 20^5
4^t = 2
(2)^2^t = 2
2^t=1
t=1/2
t=6 meses
Os candidatos terão o mesmo número de eleitores em 6 meses.
Vamos igualar as duas funções exponenciais, como pede o enunciado:
2.10⁵.(1,6)ˣ = 4.10⁵.(0,4)ˣ
Perceba que podemos dividir toda a equação por 10⁵. Assim, obtemos:
2.(1,6)ˣ = 4.(0,4)ˣ.
Agora, vamos deixar de um lado da equação exponencial os números em função de x e do outro lado os números independentes:
(1,6)ˣ/(0,4)ˣ = 4/2
(1,6)ˣ/(0,4)ˣ = 2.
Como no lado esquerdo os dois números estão elevados a x, então podemos dizer que:
(1,6/0,4)ˣ = 2
4ˣ = 2.
Perceba que 4 = 2². Dito isso:
(2²)ˣ = 2
2²ˣ = 2.
Como as bases são iguais em ambos os lados da equação, então podemos utilizar apenas os expoentes. Assim:
2x = 1
x = 1/2.
Portanto, os candidatos terão o mesmo número de eleitores em metade do ano, ou seja, em 6 meses.
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