Question

Em um intervalo de tempo de 2 min uma partícula efetua 12 oscilações em torno de uma posição de equilíbrio em MHS e sua aceleração máxima é igual a 0,02m/s^2.No instante t=0 a posição e a velocidade da partícula são respectivamente 0 e (10/π) cm/s. Determine:

A) amplitude em CM
B)a fase inicial
C)A posição no instante T=2,5 s em CM
D)Velocidade no instante T=5 s em CM por segundo
E)Aceleração no instante T=0 em CM por segundo ao quadrado

Answer 1

Podemso facilmente resolver esta questõa utilizando formulações gerais de MHS.

Qualquer movimento MHS é dado pela formula geral:

$S=A.sen(\omega.t+\phi)$

Onde ω é a frequência angular e Φ é a fase.

Como nós sabemos que ele oscila 12 vezes em 2 minutos, podemos encontrar sua frequência:

$f=\frac{12}{120segundos}$

$f=0,1$

Assim temos que sua frequência é de 0,1 Hz. Tendo a frequência podemos encontrar a frequência angular:

$\omega=2\pi.f$

$\omega=2\pi.0,1$

$\omega=0,2\pi$

Tendo a frequência angular, já estamo mais proximos do resultado:

$S=A.sen(0,2\pi.t+\phi)$

Se nos instante 0, esta posição esta em 0, então:

$S=A.sen(0,2\pi.t+\phi)$

$0=A.sen(0,2\pi.0+\phi)$

$0=A.sen(\phi)$

Ou seja, para isto dar 0, o angulo dentro precisa ser 0, ou seja, a fase desta função é 0:

$S=A.sen(0,2\pi.t)$

Agora para encontrarmos a velocidade, basta derivarmos a função posição pelo tempo:

$V=0,2\pi.A.cos(0,2\pi.t)$

E para encontrarmos a aceleração, basta derivarmos de novo pelo tempo:

$a=-0,04\pi^2.A.sen(0,2\pi.t)$

E para encontrarmos a velocidade maxima basta colocarmos seno sendo igual a -1 que é o menor valor que ele alcança, ficando com:

$a=-0,04\pi^2.A.sen(0,2\pi.t)$

$a=0,04\pi^2.A$

Mas esta aceleração maxima, nós já sabemos que é de 2 cm/s²:

$a=0,04\pi^2.A$

$2=0,04\pi^2.A$

$\frac{2}{0,04\pi^2}=A$

$A=\frac{50}{\pi^2}$

E assim temos a amplitude desta oscilação e com isso podemos escrever as equações de posição, velocidade e aceleração:

$S=\frac{50}{\pi^2}.sen(0,2\pi.t)$

$V=\frac{10}{\pi}.cos(0,2\pi.t)$

$a=-2.sen(0,2\pi.t)$

E tendo estas equações nós podemos resolver as perguntas:

A) Amplitude em CM.

Como já foi calculado acima esta amplitude é de:

$A=\frac{50}{\pi^2}cm$

B) A fase inicial.

Tabém já foi feito acima que a fase inicial é de 0º.

C) A posição no instante T=2,5 s em CM.

Basta pergarmos a função posição e substituir t por 2,5:

$S=\frac{50}{\pi^2}.sen(0,2\pi.t)$

$S=\frac{50}{\pi^2}.sen(0,2\pi.2,5)$

$S=\frac{50}{\pi^2}.sen(0,5\pi)$ (mesma coisa que seno de 90º)

$S=\frac{50}{\pi^2}.0$

$S=0$

Assim sua posição em t=2,5s é 0 m.

D) Velocidade no instante T=5 s em CM por segundo.

Da mesma forma basta substituir t por 5 na função velocidade:

$V=\frac{10}{\pi}.cos(0,2\pi.t)$

$V=\frac{10}{\pi}.cos(0,2\pi.5)$

$V=\frac{10}{\pi}.cos(\pi)$

$V=\frac{10}{\pi}.(-1)$

$V=\frac{-10}{\pi}$

Neste instante a velocidade é de -10/π cm/s.

E) Aceleração no instante T=0 em CM por segundo ao quadrado.

Basta substituirmos t por 0 na função de aceleração:

$a=-2.sen(0,2\pi.t)$

$a=-2.sen(0,2\pi.0)$

$a=-2.sen(0)$

$a=-2.0$

$a=0$

Assim em t=0 s temos a aceleração de 0 m/s².