Question

Em um grupo de amigos ha o habito de se presentearem por ocasiao de seus aniversarios. Durante o ano, foram trocados trinta presentes. Supondo que cada um tenha dado um unico presente aos demais, determine quantas pessoas formam o grupo.

Answer 1

Esse tipo de problema requer um pouco de análise.
Vamos observar o exemplo em que há apenas duas pessoas, digamos André e Bernardo:
No aniversário de André, Bernardo lhe dá 1 presente

No aniversário de Bernardo, André lhe dá 1 presente

Assim no total temos 1 + 1 = 2 presentes trocados.
Agora vamos adicionar uma terceira pessoa ao grupo, que vamos chamar de Carlos:

No aniversário de André, Bernardo e Carlos o presenteiam, totalizando 2 presentes.

No aniversário de Bernardo, André e Carlos o presenteiam, totalizando 2 presentes.

No aniversário de Carlos, André e Bernardo o presenteiam, totalizando 2 presentes.
Assim no total temos 2 + 2 + 2 = 6 presentes trocados.
Para um caso geral de um grupo de n pessoas, veremos que a cada aniversário cada pessoa recebe (n-1) presentes, como há n aniversários ao longo do ano o total de $n \cdot (n-1)$ presentes trocados.

Voltando agora à questão queremos saber qual o número de amigos no grupo de modo que sejam trocados 30 presentes no ano. Substituindo na fórmula que deduzimos agora há pouco temos que:
$n \cdot (n-1) = 30 \\n^2-n = 30 \\n^2-n-30 = 0$
Fatorando o lado esquerdo da equação:
$(n-6)(n+5) = 0$
Portanto:
$(n-6)= 0 \\n = 6$
Ou:
$(n+5) = 0 \\ n = -5$
Como não faz sentido um grupo com uma quantidade negativa de pessoas, a resposta correta é n = 6 ou seja, o grupo é formado por 6 pessoas.