Question

Em um cone circular reto de altura 12 cm, o raio da base mede 5cm. Calcule:

a) a área lateral (AL)
b) a área da base (AB)
c) a área total (AT)
d) o volume (V)
e) a área da secção meridiana.

Answer 1

1) Para começar, vamos calcular o raio. Como é um cone de revolução, o triângulo formado pelo raio (r), altura (h) e geratriz (g) é retângulo, então vale 

g² = r² + h² 
r² = g² - h² = 34² - 30² = 256 
r = raiz(256) = 16 

a) A área lateral pode ser obtida por 
Al = pi * r * g = 544*pi 

b) A área total consiste na soma da área lateral com a da base. A área da base é só a área de um círculo 
Ab = pi * r² = 256 * pi 

Somando com a área lateral, 
At = Ab + Al = 256*pi + 544*pi = (256 + 544)*pi = 800*pi 

c) O volume de um cone é um terço do volume do cilindro de mesma base e altura - ou expressando em fórmula: 
V = (1/3) * pi * h * r² 

Substituindo os termos, todos conhecidos, 
V = 2560*pi 

2) Aqui a gente tem área lateral (Al = pi * r * g) e a área total (At = Al + Ab), e necessitamos do volume (V = (1/3) * pi * h * r²)... Ou seja, vamos colocar como nosso objetivo encontrar o raio e a altura do cilindro. 

O raio é fácil obter a partir de Ab = pi * r². Mas onde podemos obter Ab? A partir da área total. 
At = Al + Ab 
90*pi = 65*pi + Ab (passa 65*pi pra lá) 
Ab = 25*pi 

Com a área da base, então, podemos achar o raio fácil: 
Ab = 25*pi = pi*r² (pi com pi se cancelam) 
r = raiz(25) = 5 

Falta encontrar a altura. Como o cone é circular reto, então sabemos que 
g² = h² + r², ou isolando h 
h = raiz(g² - r²) 

Para isso, devemos antes encontrar g. Felizmente este está fácil com a fórmula da área lateral 
Al = 65*pi = pi * r * g (cancela pi com pi) 
65 = 5 * g (divide por 5 dos dois lados) 
g = 13 

[PAUSA: se eu estiver indo muito devagar, desculpe.] 

Agora, encontramos h 
h = raiz(g² - r²) 
= raiz(169 - 25) 
= raiz(144) 
= 12 

Ufa! Por fim, calculamos seu volume tendo o raio e a altura em mãos. 
V = (1/3) * pi * h * r² 
V = 100*pi 

Este é um tipo de pergunta que certamente você vai achar muito ainda, onde você mesma tem que descobrir do que precisa para chegar à resposta. Pratique perguntando para si mesma "ok, quero isto, mas para isso preciso disto, disto e disto". Siga etapa por etapa que sempre funciona. 

3) O que é seção meridiana mesmo? Desculpe, esqueci. 
Edit: Achei. A seção meridiana é aquela que corta o cilindro no meio, na direção vertical. Isto é, ela produz um retângulo com base de tamanho 2*r e altura h igual à altura do cilindro. Então, a área da seção é obtida por 
As = 2*r*h 

Não sabemos o valor de As, mas sabemos que é igual à área da base, isto é, 
Ab = pi * r² = 2*r*h 
Para isolar h, dividimos ambos os lados por 2*r, e temos 
h = pi*r/2 
Como r = 1, então h = pi/2 ... uai, não bateu com seu gabarito. Se der tempo, dê uma conferida, porque ou ele está errado, ou a minha definição de seção meridiana está. 

4) a) Podemos correr para as fórmulas, mas vamos parar um pouco antes. Sabemos que o volume de um cone é sempre 1/3 do volume do cilindro de mesma base e altura. Cada um dos cones está inserido na metade do cilindro de 9 cm de altura, certo? Então cada cone tem 1/3 de 1/2 do volume do cilindro, e os dois juntos... representam 1/3 do volume deste cilindro! 

Como os dois juntos são 1/3, o espaço que resta é 2/3 do volume do cilindro. Então, sendo Vd o volume desejado e Vc o volume do cilindro, 

Vd = 2/3 * Vc = 2/3 * pi * r² * h. 
Vd = 150*pi 

Se você não viu esta facilitação de cara, então talvez o melhor mesmo fosse ir para as fórmulas, mas _eu acho_ que seria mais demorado.