Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0, 1, 2 e 5. O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirá-las, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta dos algarismos do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se R$ 1,00 de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira fosse 5, ele ganharia R$ 2,00 de desconto. Qual é a probabilidade de um consumidor não ganhar qualquer desconto? A) 1\24 B) 3\24 C) 1\3 D) 1\4 E) 1\2
Soluções para a tarefa
Para achar todas as combinações possíveis das cartas, temos que usar a permutação simples (P = n!) onde n é o número de algarismos a permutar, como n = 4, P = n! = 4*3*2*1 = 24 combinações. Este valor representa o espaço amostral.
Para o cliente não receber desconto, ele deve errar todas as posições, que serão estas:
0125 0512 0521
2105 2501 2015
5102 5021 5012
Sendo 9 opções de errar em 24 possibilidades, a probabilidade de não ganhar desconto é:
Probabilidade de 37,5%.
Porém, nenhuma das alternativas da questão tem este valor.
Resposta:
P = 3/8 <= probabilidade pedida
Explicação:
.
=> Notas Importantes:
Pretendemos saber quantas são as possibilidades de NENHUMA carta estar na sua posição original
…isto implica o recurso ao conceito de “Permutação Caótica”
Veja que se fossem (por exemplo) 6 cartas vc, 3 ou 4 dias depois de terminar a prova, ainda estaria a tentar “mapear” (listar) todas as possibilidades
…além de que efetuar qualquer listagem aumenta a possibilidade de erro.
A “Permutação Caótica” é a forma correta de resolver este tipo de questões ..é de aplicação rápida ..diminui a possibilidade de erro de qualquer listagem …e pode ser aplicada de 2 formas:
=> Utilizando a constante de Euler
Ou
=> Utilizando a formula da Permutação Caótica (Desarranjo)
Vou resolver das 2 formas indicadas acima!
Como cálculo prévio vamos determinar o espaço amostral (totalidade de eventos possíveis)
..temos 4 algarismos ..logo o total de eventos possíveis será = 4! = 4.3.2.1 = 24 eventos possíveis
1ª - RESOLUÇÃO UTILIZANDO A CONSTANTE DE EULER
(quando utilizar a constante de Euler basta utilizar 3 ou 5 casas decimais ..vou utilizar 5 casas decimais)
Temos a fórmula:
D₍ₙ₎ ≅ n!/e
resolvendo:
D₍₄₎ ≅ 4!/e
D₍₄₎ ≅ 4!/2,71828
D₍₄₎ ≅ 4.3.2.1/2,71828
D₍₄₎ ≅ 24/2,71828
D₍₄₎ ≅ 8,829113
..quando usamos a constante de Euler temos de escolher o número inteiro mais perto da solução encontrada ...que neste caso será o "9"
D₍₄₎ = 9
Logo a probabilidade (P) será dada por:
P = 9/24
...simplificando mdc(9,24) = 3
P = 3/8 <= probabilidade pedida
2ª – RESOLUÇÃO UTILIZANDO A FÓRMULA DE PERMUTAÇÃO CAÓTICA (Desarranjo)
Temos a fórmula:
D₍ₙ₎ = n!.[1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ...+(-1)ⁿ.1/n!]
Resolvendo:
D₍₄₎ = 4! . (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4!)
D₍₄₎ = 4! . (1 - 1 + 1/2! - 1/3! + 1/4!)
D₍₄₎ = 4! . (1/2! - 1/3! + 1/4!)
..aplicando a Distributiva..
D₍₄₎ = (4!/2! - 4!/3! + 4!/4!)
D₍₄₎ = (4.3.2!/2!) - (4.3!/3!) + (4!/4!)
D₍₄₎ = (4.3) - (4) + (1)
D₍₄₎ = (12) - (4) + (1)
D₍₄₎ = 9
Logo a probabilidade (P) será dada por:
P = 9/24
...simplificando mdc(9,24) = 3
P = 3/8 <= probabilidade pedida
=> Nota Final Importante: a sua prova tem o gabarito errado
Espero ter ajudado