Question

Em um bar, há três garrafas amarelas e duas garrafas vermelhas. Dessas garrafas, três serão colocadas em uma prateleira horizontal, uma ao lado da outra. De quantas formas é possível dispor as garrafas, considerando as sequências distintas de cores?

Answer 1

Resposta: É possível dispô-las de $7$ formas distintas.

Explicação passo-a-passo:

Note que no bar existem três garrafas amarelas e duas vermelhas (supondo indistinguíveis cada garrafa de mesma cor), com isso deseja-se dispor três delas em uma prateleira horizontal, levando em consideração as possíveis sequências distintas de cores. As garrafas amarelas serão representadas por $A$ e as vermelhas por $V$. Para início de resolução deve-se considerar os seguintes casos:

As três garrafas são amarelas

Caso as três garrafas sejam amarelas, existe apenas a sequência de cores $(A,A,A)$. Sendo assim o total de possibilidades para este caso será dado por:

$\dbinom{3}{3}=\cfrac{3!}{3!(3-3)!}=1\ \ \ \ \ \ (i)$

Duas garrafas são amarelas e uma única é vermelha

Caso sejam duas garrafas amarelas e uma vermelha, existem as três possibilidades para a respectiva sequência de cores: $(A,A,V)$, $(A,V,A)$ e $(V,A,A)$. O cálculo do total de possibilidades para este caso é dado por:

$\dbinom{3}{2}=\cfrac{3!}{2!(3-2)!}=3\ \ \ \ \ \ (ii)$

Uma única garrafa é amarela e as outras duas são vermelhas

Caso sejam duas garrafas vermelhas e um única amarela, existem as três possibilidades para a respectiva sequência de cores: $(V,V,A)$, $(V,A,V)$ e $(A,V,V)$. O cálculo do total de possibilidades para este caso também será dado por:

$\dbinom{3}{2}=\cfrac{3!}{2!(3-2)!}=3\ \ \ \ \ \ (iii)$

Por fim, o total $T$ de formas distintas de dispor as três garrafas na prateleira é dado através da soma de $(i)$, $(ii)$ e $(iii)$. Ou seja:

$T=\dbinom{3}{3}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{3}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$T=\dbinom{3}{3}+2 \cdot \dbinom{3}{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$T= 1+2 \cdot 3\ \ \ \Leftrightarrow$

$T=1+6\ \ \ \Leftrightarrow$

$T=7$.

É possível dispô-las de $7$ formas distintas.

Obs.: Em $(ii)$ e $(iii)$ note a seguinte igualdade:

$\dbinom{3}{2}=\dbinom{3}{1}=\cfrac{3!}{1!(3-1)!}=3$

Um grande abraço!