Question

Em um anfiteatro temos fileiras de assentos. Na 1º fileira há 10 lugares, na 2º há 13, na 3º há 16 e assim por diante ( isto é, cada fileira a partir da segunda, tem dois assentos a mais que a da frente)
Qual número total de assentos do anfiteatro?

Answer 1

$P.A.(10, 13, 16, ..., a_{8})$

Essa é uma progressão aritmética, porque a cada novo termo o valor aumenta 2 unidades.

Antes de tudo, temos que achar a razão. A razão de uma PA é obtida subtraindo qualquer termo pelo seu antecessor:

$r = 16 - 13 = 13 - 10 \rightarrow \boxed{\textsf{r = 3}}$

Para saber o enésimo termo de uma PA, temos uma fórmula:

$\boxed{a_{n} = a_{1} + (n - 1) \times r}$

Substituindo na fórmula:

$a_{8} = 10 + (8 - 1) \times 3$  <- sabendo que há 8 fileiras, o n é substituído por 8

Subtraindo:

$a_{8} = 10 + 7 \times 3$

Multiplicando:

$a_{8} = 10 + 21$

Somando:

$\boxed{a_{8} = 31}$

Para achar a quantidade total de assentos do anfiteatro, temos que usar a fórmula da soma:

$\boxed{S_{n} = \frac{( a_{1} + a_{n} ) \times n}{2}}$

Substituindo na fórmula:

$S_{8} = \frac{(10 + 31) \times 8}{2}$

Somando:

$S_{8} = \frac{41 \times 8}{2}$

Multiplicando:

$S_{8} = \frac{328}{2}$

Dividindo:

$\boxed{S_{8} = 164}$

O anfiteatro tem, no total, 164 assentos.