Question

Em relação ao ponto critico da função Z= (x-1)² - (y-2)² +3 = f(x,y), pode afirmar que:
a) Esse ponto é o (2,1,3) e é de máximo local
b) Esse ponto é o (2,1,3) e é de mínimo local
c) Esse ponto é o (1,2,3) e é de mínimo local
d) Esse ponto é o (2,1,3) e é de máximo local
e) Esse ponto é o (1,2,3) e é de sela

Answer 1

Solução: 

∂ƒ 
▬ = 2.( x - 1 ).( x - 1 )' - 0 + 0 = 2.( x - 1 ).1 = 2x - 2 
∂x 

Daí; 

∂ƒ 
▬ = 0 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1 
∂x 

Ainda; 

∂ƒ 
▬ = 0 - 2.( y - 2 ).( y - 2 )' + 0 = - 2.( y - 2 ).1 = - 2y + 4 
∂y 

Daí; 

∂ƒ 
▬ = 0 ⇒ - 2y = - 4 ⇒ y = 2 
∂y 


Como x = 1 e y = 2 , vem; 

z = ( 1 - 1 )² - ( 2 - 2 )² + 3 ⇒ z = 3 

Temos: 

P = ( 1 , 2 , 3 ). 

Por outro lado; 

∂²ƒ. . . . .. . . ∂²ƒ 
▬ = 2 ;. . . . ▬ = - 2 
∂x². . . . . . . .∂y² 

e 

.∂²ƒ. . . . . ..∂²ƒ 
▬▬ = 0 ; ▬▬ = 0 
∂x∂y. . . . .∂y∂x 


Então; 

│∂²ƒ/∂x². . . . . . ∂²ƒ/∂x∂y│ 
│. . . . . . . . . . . . . . . . .│ = ∆ 
│∂²ƒ/∂y∂x. . . .. . .∂²ƒ/∂y²│ 


│2. . . . . . 0│ 
│. . . . . . . .│ = ∆ 
│0 . . .. . - 2│ 


∆ = 2.( - 2 ) - 0.0 = - 4 

Como ∆ = - 4 < 0 , temos que o ponto crítico é o "ponto de sela". 

Logo; 

R ──────►A) esse ponto é o ( 1 , 2 , 3 ) e é de sela .