Question

Em Quanto tempo uma população dobra crescendo 2,2% ao ano ?

Considere Log1,022=0,009
Ajuda ai!

Answer 1

Seja $P(t)$ a função que fornece a população em um dado instante $t$ (em anos) a partir do instante inicial $t=0.$


Suponhamos que no instante inicial, a população seja conhecida, isto é

$P(0)=P_0$

(população inicial, com $P_0\ne 0$ )

_________________________

A população após $t$ anos é dada pela função

$P(t)=P_0\cdot (1+2,2\%)^{t}$

( note a semelhança desse problema com o de juros compostos.. :-))


Reescrevendo a lei da função na forma decimal, temos

$P(t)=P_0\cdot (1+0,022)^{t}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}P(t)=P_0\cdot (1,022)^{t} \end{array}}~~~~~~\text{com }t\ge 0.$

_________________________

Queremos encontrar o instante $t_1\,,$ de forma que

$P(t_1)=2\cdot P_0~~~~~\text{(a popula\c{c}\~ao dobrou)}$


Então, devemos ter

$P_0\cdot(1,022)^{t_1}=2\cdot P_0$


Como a população inicial é diferente de zero, podemos simplificar os dois lados, e ficamos com

$(1,022)^{t_1}=2\\\\ \mathrm{\ell og}\big[(1,022)^{t_1}\big]=\mathrm{\ell og}\,2\\\\ t_1\cdot \mathrm{\ell og}(1,022)=\mathrm{\ell og}\,2\\\\ t_1=\dfrac{\mathrm{\ell og}\,2}{\mathrm{\ell og}(1,022)}\approx 32\text{ anos}$


Logo, em aproximadamente 32 anos, a população será o dobro da que era inicialmente.