em quantas partes iguais esta divido o intervalo de 0 a 1 ?
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Resposta:
O intervalo (0,1) está dividido em infinitas partes. Além disso, acontece algo mais interessante ainda:
Todos os números reais "cabem" dentro do intervalo aberto (0,1).
Isto signfica de que 0 até 1 você tem a mesma quantidade de números que de -\infty−∞ até \infty∞ .
Uma das noções mais inportantes para dizer que dois conjuntos tem a mesma quantidade de números é a noção de bijetividade.
Uma função é bijetiva apenas se ela for injetiva e sobrejetiva (ao mesmo tempo).
Vamos explicar cada termo:
Uma função, por ser função, terá todos os elementos de x produzindo uma imagem em y (não precisa ser todo y).
Se a função for injetiva, para cada valor de y, existe apenas um valor de x possível
por exemplo, x² não é injetiva porque 2^2=(-2)^2=42
2
=(−2)
2
=4 . Temos 2 valores de x dando um único valor de y e por isso não é injetiva)
Para ser sobrejetiva, tem que "cobrir a reta y toda".
por exemplo, x² não é sobrejetiva porquenão existe x^2 = - 1x
2
=−1 ou x^2 = - 0,333...x
2
=−0,333...
Uma função bijetiva tem que cobrir a reta toda (sobrejetiva) e ter apenas um valor de x para cada valor de y (injetiva).
Com isso podemos fazer umas construções interessantes:
Os números inteiros \mathbb{Z}Z tem a mesma quantidade de números que os números naturais \mathbb{N}N porque podemos escrever a seguinte bijeção:
\begin{gathered}\begin{matrix}\mathbb{N}&\rightarrow&\mathbb{Z}\\1&&0\\2&&1\\3&&-1\\4&&2\\5&&2\\6&&3\\7&&-3\\.\\.\\.\end{matrix}\end{gathered}
N
1
2
3
4
5
6
7
.
.
.
→
Z
0
1
−1
2
2
3
−3
Ou seja, definimos que 1 leva para zero, depois disso, os pares levam para números positivos e os ímpares para números negativos.
Como a função é bijetiva (tem como fazer a volta dos inteiros para os naturais) dizemos que \mathbb{N}N e \mathbb{Z}Z possuem a "mesma quantidade" de números.
E quanto aos números reais?
Podemos usar a função tangente tan(x)tan(x) para mostrar que todos os números reais cabem dentro do intervalo (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})(
2
−π
,
2
π
)
Isto é fácil de ver por causa do grafico da função.
tan(\frac{-\pi}{2})=-\inftytan(
2
−π
)=−∞ e tan(\frac{\pi}{2})=\inftytan(
2
π
)=∞ e além disso, todos os valores dentro do intervalo são números reais.
E o intervalo (0,1)?
Pode ser escrito a bijeção
\dfrac{(2x-1)}{(x^2-x)}
(x
2
−x)
(2x−1)
e teremos o gráfico da imagem.
Podemos ver que para valores de x entre 0 e 1, teremos valores de y entre -\infty−∞ e \infty∞