Question

Em quantas partes iguais esta dividido o intervalo de 0 a 1?

Answer 1

O intervalo (0,1) está dividido em infinitas partes. Além disso, acontece algo mais interessante ainda:

Todos os números reais "cabem" dentro do intervalo aberto (0,1).

Isto signfica de que 0 até 1 você tem a mesma quantidade de números que de $-\infty$ até $\infty$.

Uma das noções mais inportantes para dizer que dois conjuntos tem a mesma quantidade de números é a noção de bijetividade.

Uma função é bijetiva apenas se ela for injetiva e sobrejetiva (ao mesmo tempo).

Vamos explicar cada termo:

Uma função, por ser função, terá todos os elementos de x produzindo uma imagem em y (não precisa ser todo y).

Se a função for injetiva, para cada valor de y, existe apenas um valor de x possível

por exemplo, x² não é injetiva porque $2^2=(-2)^2=4$. Temos 2 valores de x dando um único valor de y e por isso não é injetiva)

Para ser sobrejetiva, tem que "cobrir a reta y toda".

por exemplo, x² não é sobrejetiva porquenão existe $x^2 = - 1$ ou $x^2 = - 0,333...$

Uma função bijetiva tem que cobrir a reta toda (sobrejetiva) e ter apenas um valor de x para cada valor de y (injetiva).

Com isso podemos fazer umas construções interessantes:

Os números inteiros $\mathbb{Z}$ tem a mesma quantidade de números que os números naturais $\mathbb{N}$ porque podemos escrever a seguinte bijeção:

$\begin{matrix}\mathbb{N}&\rightarrow&\mathbb{Z}\\1&&0\\2&&1\\3&&-1\\4&&2\\5&&2\\6&&3\\7&&-3\\.\\.\\.\end{matrix}$

Ou seja, definimos que 1 leva para zero, depois disso, os pares levam para números positivos e os ímpares para números negativos.

Como a função é bijetiva (tem como fazer a volta dos inteiros para os naturais) dizemos que $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ possuem a "mesma quantidade" de números.

E quanto aos números reais?

Podemos usar a função tangente $tan(x)$ para mostrar que todos os números reais cabem dentro do intervalo $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

Isto é fácil de ver por causa do grafico da função.

$tan(\frac{-\pi}{2})=-\infty$ e $tan(\frac{\pi}{2})=\infty$ e além disso, todos os valores dentro do intervalo são números reais.

E o intervalo (0,1)?

Pode ser escrito a bijeção

$\dfrac{(2x-1)}{(x^2-x)}$ e teremos o gráfico da imagem.

Podemos ver que para valores de x entre 0 e 1, teremos valores de y entre $-\infty$ e $\infty$