Question

Em quais itens os pontos dados formam um triangulo: a)A(0,-1) B(12,4) C(6,3/2) b)F(2,3/"3") G(5,0) H(-1,0) c)L(4,6) M(3,1) N(9,2) d)P(1,3) Q(5,6) R(4,9)​

Answer 1

Dado três pontos, só é possível formar um triângulo se o determinante deles, quando colocados em uma matriz, não for igual a zero, pois se o determinante for igual a zero significa dizer que os pontos são colineares.

O determinante é dado por:

$\boxed{det \ D = \left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]}$

A)

$A(0, \ -1) \rightarrow (x_1,y_1) \\ B(12, \ 4) \rightarrow (x_2,y_2) \\ C(6, \ \frac{3}{2}) \rightarrow (x_3,y_3) \\\\ det \ D = \left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right] \\\\ det \ D = \left[\begin{array}{ccc}0&-1&1\\12&4&1\\6&\frac{3}{2}&1\end{array}\right] \\ det \ D = 0*4*1+(-1)*1*6+1*12*(3/2)-6*4*1-3/2*1*0-1*12*(-1) \\ det \ D = -6+18-24+12 \\ \boxed{det \ D = 0}$

Não é possível formar um triângulo com os pontos que foram dados.

B)

$F(2, \frac{3}{3}), \ G(5, \ 0), \ H(-1, \ 0) \\ det \ D = \left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]} \\\\ det \ D = \left[\begin{array}{ccc}2&\frac{3}{3}&1\\5&0&1\\-1&0&1\end{array}\right]} \\ det \ D = 2*0*1+(-1)*1*\frac{3}{3}+1*5*0-(-1)*0*1-1*5*\frac{3}{3}-2*0*1 \\ det \ D = 0-1+0+0-5-0 \\ det \ \boxed{D = -6}$

Logo, se o determinante é diferente de zero, é possível formar um triângulo com os pontos que foram dados.

C)

$L(4, \ 6), \ M(3, \ 1), \ N(9, \ 2) \\ det \ D = \left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]} \\\\ det \ D = \left[\begin{array}{ccc}4&6&1\\3&1&1\\9&2&1\end{array}\right]} \\ det \ D = 4*1*1+9*6*1+1*3*2-9*1*1-1*3*6-4*2*1 \\ det \ D = 4+54+6-9-18-8 \\ det \ D = 64-35 \\ \boxed{det \ D = 29}$

Também é possível formar um triângulo com os pontos que foram dados.

D)

$P(1, \ 3), \ Q(5, \ 6), \ R(4, \ 9) \\ det \ D = \left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{array}\right]} \\\\ det \ D = \left[\begin{array}{ccc}1&3&1\\5&6&1\\4&9&1\end{array}\right]} \\ det \ D = 1*6*1+4*3*1+1*5*9-4*6*1-1*5*3-1*9*1 \\ det \ D = 6+12+45-24-15-9 \\ det \ D = 63-48 \\ \boxed{det \ D = 15}$

Sendo assim, também é possível formar um triângulo com esses pontos.