Matemática, perguntado por vb732770, 8 meses atrás

em potencia de i o valor de i²⁰²⁰​

Soluções para a tarefa

Respondido por Socraw
4

i^2020

divida o 2020 por 4 , onde teremos

resto igual a zero , uma vez que se

trata de um divisão exata. E esse

resto será o novo expoente do i .

i^0 .

E todo número elevado a zero ,

é i gual a 1.

Portanto, i^2020 = 1 <= Resposta .


vb732770: obrigado pela ajuda
Socraw: da coração aí porr4
Respondido por solkarped
4

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do número complexo procurado é:

          \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf z = 1\:\:\:}}\end{gathered}$}

Seja o número complexo:

             \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i^{2020}\end{gathered}$}

Para resolver esta questão devemos lembrar as seguintes propriedades da unidade imaginária "i":

              \LARGE\begin{cases} i^{0} = 1\\i^{1} = i\\i^{2} = -1\\i^{3} = -i\end{cases}

Se o número complexo dado pode se escrito como uma potência "P" de "i", ou seja:

                   \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i^{P}\end{gathered}$}

Então, podemos reduzir esta potência à menor potência possível de "i" igualando "P" ao resto da divisão de "P" por "4", ou seja:

                   \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i^{r}\end{gathered}$}

Para calcular este resto, devemos utilizar a seguinte fórmula:

        \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} r = P - 4\cdot\bigg\lfloor\frac{P}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$}

OBSERVAÇÃO:

A seguinte formula...

                       \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bigg\lfloor\frac{P}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$}

...representa o piso do quociente entre o valor de "P" e "4".

Desta forma, temos:

\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}           \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i^{P - 4\cdot\bigg\lfloor\dfrac{P}{4}\bigg\rfloor}\end{gathered}$}

Sendo:

                    \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} P = 2020\end{gathered}$}    

Substituindo o valor de "P" na equação "I", temos:

         \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = i^{2020 - 4\cdot\bigg\lfloor\dfrac{2020}{4}\bigg\rfloor}  \end{gathered}$}

             \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^{2020 - 4\cdot \lfloor505\rfloor}\end{gathered}$}

             \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^{2020 - 2020}\end{gathered}$}

             \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} = i^{0}\end{gathered}$}

             \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 1\end{gathered}$}

✅ Portanto, o valor do número complexo é:

        \LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} z = 1\end{gathered}$}

\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}

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