Question

Em lógica matemática, a prova por exaustão é aquela em que demonstramos a validade de nossa afirmação, apontando todas as possibilidades. Já a prova por postulados costuma ser muito mais eficiente do que a prova por exaustão, porque em geral parte de axiomas, definições ou algum padrão observado.

Demonstre que a afirmação "a soma dos 30 primeiros números ímpares é 900", é verdadeira, utilizando a prova por exaustão e a prova por postulados e responda qual das duas provas seria mais adequada se o número aumentasse para os 100 primeiros números ímpares.

Answer 1

Utilizar a prova por exaustão é, como próprio nome diz, verificar a integridade da afirmação pelo método "grosseiro", que neste caso seria contar os trinta primeiros um a um e depois somá-los. O que causaria uma verdadeira exaustão:

1 + 3 + 5 + ... + $n_{30}$ = 900


Já a prova por postulados é a mais conveniente e prática para verificar esta afirmação, pois usaremos sentenças previamente estabelecidas. Como estas:

$a_{n}$ = $a_{1}$ + (n - 1)r
$S_{n}$ = $\frac{( a_{1} + a_{n})n }{2}$


Note que os números ímpares formam uma sequência que segue uma razão aritmética. Nós podemos encontrar o 30° termo dessa sequência com os postulados citados anteriormente, além de podermos verificar qual é a soma dos 30:

(1, 3, 5, 7, ...)

$a_{30}$ = 1 + (30 - 1).2
$a_{30}$ = 1 + 29.2
$a_{30}$ = 1 + 58
$a_{30}$ = 59

$S_{30}$ = $\frac{(1 + 59).30}{2}$
$S_{30}$ = $\frac{60.30}{2}$
$S_{30}$ = $\frac{1800}{2}$
$S_{30}$ = 900


Se já não era fácil verificar a soma dos trinta primeiros números ímpares por meio do método da exaustão, imagina verificar a soma dos cem primeiros? Portanto, o método mais adequado para isso é a prova por postulados.

Answer 2

Resposta:

Padrão de resposta esperado

Explicação passo-a-passo: