Question

Em esse item abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função
dada.
f(θ) = 7 sen(θ / 3)

Gabarito:
F(θ) = −21 cos(θ/3) + K

Answer 1

A função F cuja derivada coincide com a função dada é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}F(\theta)= \int 7\sin\left(\frac{\theta}{3}\right)\,d\theta = -21\cos\left(\frac{\theta}{3}\right) + K\end{gathered}$

O operador que temos que aplicar aqui é a integração, visto que, uma primitiva é justamente isso, uma função que quando derivada coincide com a função que você tinha antes. Ou seja, queremos saber qual a primitiva de f, logo vamos fazer a integral indefinida de f:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int f(\theta)\,d\theta = \int 7\sin\left(\frac{\theta}{3}\right)\,d\theta\end{gathered}$

Logo, temos que integrar:

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int 7\sin\left(\frac{\theta}{3}\right)\,d\theta\end{gathered}$

Pela propriedade de multiplicação por escalar da integral, podemos escrever que:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int cf(x)\,dx = c\cdot \int f(x)\,dx\end{gathered}$

Então podemos tirar o 7 da integral, ficando:

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}7 \int \sin\left(\frac{\theta}{3}\right)\,d\theta\end{gathered}$

Agora vamos fazer uma pequena substituição para nos ajudar a visualizar a integral imediata, vamos dizer que:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\phi = \frac{\theta}{3} \Rightarrow d\theta = 3d\phi\end{gathered}$

Então fazendo a substituição temos:

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}7 \int 3\sin\phi\,d\phi\end{gathered}$

Novamente aplicando a propriedade da multiplicação:

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}21 \int \sin\phi\,d\phi\end{gathered}$

E agora temos uma integral imediata, qual função que quando derivada dá sen? -cos, então:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}21 \int \sin\phi\,d\phi = -21\cos\phi+K\end{gathered}$

Voltando para a variável original, e finalizando:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int 7\sin\frac{\theta}{3}\,d\theta = -21\cos\left(\frac{\theta}{3}\right) + K\end{gathered}$

Para verificar nosso resultado, podemos derivar a primitiva e devemos chegar na função original, vamos fazer isso para ver que realmente dá certo:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{d\theta}F(\theta) = \frac{d}{d\theta}\left(-21\cos\left(\frac{\theta}{3}\right) + K\right)\end{gathered}$

Pela propriedade de soma das derivadas temos:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{d\theta}F(\theta) = \frac{d}{d\theta}-21\cos\left(\frac{\theta}{3}\right) + \frac{d}{d\theta}K\end{gathered}$

Como K é uma constante, sua derivada é zero, então ficamos apenas com:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{d\theta}F(\theta) = \frac{d}{d\theta}\left(-21\cos\left(\frac{\theta}{3}\right)\right)\end{gathered}$

Pela regra da cadeia temos que:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{d\theta}f(g(\theta)) = g'(\theta)f'(g(\theta))\end{gathered}$

Portanto:

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{d\theta}F(\theta) =7\sin\left(\frac{\theta}{3}\right)\end{gathered}$

Confirmando nosso resultado.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respodo nos comentários.

Funções em anexo.

Primitiva com K = 0.

Veja mais sobre em:

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