Matemática, perguntado por arrigoni8486, 1 ano atrás

Em coordenadas esféricas a expressão 1/(√x²+y²+z²) é equivalente a:
Escolha uma:
a. ρ
b. 1/ρ²
c. 1/ρ
d. Nenhuma das anteriores.
e. ρ²

Soluções para a tarefa

Respondido por Celio
13
Olá, Arrigoni.

O sistema de coordenadas esféricas é dado por:

\begin{cases}{x}=\rho \, \sin\phi  \, \cos\theta \\
{y}=\rho \, \sin\phi \, \sin\theta \\
{z}=\rho \, \cos\phi\end{cases}
\\\\\\
\frac1{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac1{\sqrt{(\rho \, \sin\phi  \, \cos\theta)^2+(\rho \, \sin\phi \, \sin\theta)^2+(\rho \, \cos\phi)^2}}=\\\\
=\frac1{\sqrt{\rho\² \, \sin\²\phi  \, \cos\²\theta+\rho\² \, \sin\²\phi \, \sin\²\theta+\rho\² \, \cos\²\phi}}=\\\\
=\frac1{\sqrt{\rho\² \, \sin\²\phi  \, \underbrace{(\cos\²\theta+\sin\²\theta)}_{=1}+\rho\² \, \cos\²\phi}}=

=\frac1{\sqrt{\rho\² \, \sin\²\phi  +\rho\² \, \cos\²\phi}}=\\\\
=\frac1{\sqrt{\rho\² \,\underbrace{(\sin\²\phi  + \cos\²\phi)}_{=1}}}=\\\\
=\frac1{\sqrt{\rho\²}}=\\\\
=\boxed{\frac1\rho}
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