Question

em certas espécies animais em perfeito equilíbrio ecológico, a variação no tamanho de sua população é periódica. esse período depende de condições ambientais, tais como a quantidade de predadores, quantidade de alimento disponível, entre outros fatores. Em uma ilha, a população p de certa espécie animal é dada pela função p(t)=500+100 cos de 3,14 /3t em que t correspondeaos meses do ano (t=1 correspondente a janeiro). em que meses do ano essa população será diminúida.

Answer 1

Devemos calcular a derivada da função, isto é, fazendo P(x)' = 0

Assim acharemos os pontos minimos.

Seja P(x) = 500 +100cos(π/3t)

Achando a derivado teremos:

$\\ P(x) = 500 + 100cos( \frac{ \pi t}{3} ) \\ \\ P(x)' = 0 + 100*[-sen( \frac{ \pi t}{3} )]* \frac{ \pi }{3} \\ \\ P(x)' = -100 \frac{ \pi }{3} sen( \frac{ \pi t}{3})$

Fazendo P(x)' = 0 teremos


$\\ -100 \frac{ \pi }{3} sen( \frac{ \pi t}{3} )=0 \\ \\ sen( \frac{ \pi t}{3} )= 0$

Sabendo que o angulo 360graus e 180 graus são os valores de seno igual a zero, teremos duas possibilidades:




Sen(πt/3) = sen(360)   →  ou  sen(πt/3) = sen(180)

Cancelando sen fica:

πt/3 = 360graus  ou  πt/3 = 180graus

Convertendo 360graus em radiando fica → 2π
convertendo 180graus em radiano fica  → π

Substituindo:

πt/3 = 2π
t/3 = 2
t = 6

ou

πt/3 = π
t/3 = 1
t = 3

Com t = 1 é janeiro, 

∵ 


$\\ T = 3 \\ \\ e \\ \\ T = 6$

Ela vai dimuir de março a junho de acordo com os calculos, mais porem, a função é decrescente até atingir o valor 9 meses. Pois sera decrescente do ponto medio 3 meses até o ponto medio 6 meses, e irar crescer do 6 até o valor 9meses mais com a imagem negativa. Portanto:


Sera mes MARÇO e SETEMBRO respectivamente!

att +