Em cada item, verifique quais triplas ordenadas são soluções do sistema. a) I) (–1, 5, 0) II) (0, 0, 0) III) (1, –2, –3) b) I) (0, 0, 0) II) (5, 1, –1) III) (2, 2, –1)
Soluções para a tarefa
Resposta:
Olá, As ternas II) (0,0,0) e III) (1,-2,-3) são soluções do sistema homogêneo. A terna II) (5,1,-1) é solução do sistema não homogêneo.
a) Da segunda equação, podemos dizer que x = 4y - 3z.
Dividindo a terceira equação por 2, obtemos x - y + z = 0.
Substituindo o valor de x nessa equação:
4y - 3z - y + z = 0
3y - 2z = 0
3y = 2z
y = 2z/3.
Logo,
x = 4.(2z/3) - 3z
x = 8z/3 - 3z
x = -z/3.
Substituindo os valores de x e y na primeira equação do sistema:
5(-z/3) + 2z/3 + z = 0
-5z/3 + 2z/3 + z = 0
-5z + 2z + 3z = 0
0 = 0.
O sistema possui infinitas soluções da forma (-z/3,2z/3,z).
Se z = 0, obtemos a solução II) (0,0,0).
Se z = -3, obtemos a solução III) (1,-2,-3).
Observe que todos os termos independentes são iguais a 0. Logo, o sistema é homogêneo.
b) Da primeira equação, podemos dizer que x = -y - 6z.
Substituindo o valor de x na segunda equação:
-y - 6z - y - z = 5
-2y - 7z = 5
2y = -7z - 5
y = (-7z - 5)/2.
Logo,
x = -(-7z - 5)/2 - 6z
x = (7z + 5)/2 - 6z
x = (-5z + 5)/2.
Substituindo os valores de x e y na terceira equação:
2(-5z + 5)/2 - 6(-7z - 5)/2 - z = 5
-5z + 5 - 3(-7z - 5) - z = 5
-5z + 21z + 15 - z = 0
15z = -15
z = -1.
Portanto, x = 5 e y = 1.
A solução do sistema é II) (5,1,-1).
O sistema é não homogêneo porque alguns termos independentes são diferentes de zero
As triplas ordenadas que são soluções dos sistemas são: a) (0, 0, 0) e (1, -2, -3); b) (0, 0, 0);
Essa questão é sobre sistema de equações.
Um sistema de equações é dado por um conjunto de equações com mais de uma variável.
a) O primeiro sistema é:
5x + y + z = 0
x - 4y + 3z = 0
2x - 2y + 2z = 0
Devemos aplicar o método do escalonamento:
- L2 ⇒ L2 - (1/5)·L1
5x + y + z = 0
0 - (21/5)y + (14/5)z = 0
2x - 2y + 2z = 0
- L3 ⇒ L3 - (2/5)·L1
5x + y + z = 0
0x - (21/5)y + (14/5)z = 0
0x - (12/5)y + (8/5)z = 0
- L3 ⇒ L3 - (4/7)·L2
5x + y + z = 0
0x - (21/5)y + (14/5)z = 0
0x + 0y + 0z = 0
Isolando y na equação 2:
y = (14/5)z/(21/5)
y = (2/3)z
Substituindo y na primeira equação e isolando x:
5x + (2/3)z + z = 0
x = -(5/3)z/5
x = -(1/3)z
A solução do sistema será S = {(-1/3)z, (2/3)z, z}. Substituindo z por 0 e por -3, temos:
S = {0, 0, 0}
S = {1, -2, -3}
b) O segundo sistema é:
x + y + 6z = 0
x - y - z = 5
2x - 6y - z = 5
Aplicando o método do escalonamento:
- L2 ⇒ L2 - L1
x + y + 6z = 0
0 - 2y - 7z = 0
2x - 2y + 2z = 0
- L3 ⇒ L3 - 2·L1
x + y + 6z = 0
0 - 2y - 7z = 0
0x - 8y - 13z = 0
- L3 ⇒ L3 - 4·L2
x + y + 6z = 0
0 - 2y - 7z = 0
0x + 0y + 15z = 0
Da terceira equação:
15z = 0
z = 0
Da segunda equação:
- 2y - 7z = 0
-2y = 0
y = 0
Da primeira equação:
x + y + 6z = 0
x = 0
A solução do sistema pe S = {0, 0, 0}.
Leia mais sobre sistemas de equações em:
https://brainly.com.br/tarefa/24392810
https://brainly.com.br/tarefa/40216615
