Question

Em cada caso, dê a posição relativa entre r e a:
a) r: x - y = 0 ea: x2 + y2 + 2x - 2y + 1 = 0
b) r: x - y + 1 = 0 ea: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5
c) r: x + y - 2 = 0 e 2: x2 + y2 - 4x - 4y + 6 = 0
d) r: 2x - y - 1 = 0 e 2: (x - 3)2 + (y + 1)2 = 16​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar de algumas propriedades de geometria analítica.

A posição relativa entre uma reta e uma circunferência pode assumir três casos:

• Quando a distância entre o centro e sua projeção ortogonal na reta é maior que o raio, esta reta é externa à circunferência.
• Quando a distância entre o centro e sua projeção ortogonal na reta é igual ao raio, esta reta é tangente à circunferência.
• Quando a distância entre o centro e sua projeção ortogonal na reta é menor que o raio, esta reta é secante à circunferência.

Dada uma circunferência de equação $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, tal que $(x_c,~y_c)$ são as coordenadas do centro e $r$ é a medida do raio, a distância entre o centro e sua projeção ortogonal na reta de equação $ax+by+c=0$ é dada pela fórmula:

$d=\dfrac{|a\cdot x_c+b\cdot y_c+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

a) $r:x-y=0$ e $x^2+y^2+2x-2y+1=0$

Para encontrarmos a equação reduzida da circunferência, basta completar quadrados. Some 1 em ambos os lados da equação:

$x^2+y^2+2x-2y+1+\bold{1}=0+\bold{1}$

Reorganize os termos

$x^2+2x+1+y^2-2y+1=1$

Fatore os trinômios quadrados perfeitos.

$(x+1)^2+(y-1)^2=1$

Dessa forma, o centro tem coordenadas $(-1,~1)$ e o raio tem medida igual a $1.$

Aplicando a fórmula de distância, temos:

$d=\dfrac{|1\cdot(-1)-1\cdot1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

Multiplique os valores e calcule as potências

$d=\dfrac{|-1-1|}{\sqrt{1+1}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|-2|}{\sqrt{2}}$

O módulo de um número negativo é igual ao seu oposto, logo

$d=\dfrac{2}{\sqrt{2}}$

Racionalize o denominador

$d=\sqrt{2}$

Como $\sqrt{2}>1$, a reta é externa à circunferência. Confira a imagem em anexo.

b) $r:x-y+1=0$ e $(x+1)^2+(y-2)^2=5$

Neste caso, o centro da circunferência tem coordenadas $(-1,~2)$ e o raio tem medida igual a $\sqrt{5}$.

Utilizando a fórmula de distância, temos:

$d=\dfrac{|1\cdot(-1)-1\cdot2+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

Multiplique os valores e calcule as potências

$d=\dfrac{|-1-2+1|}{\sqrt{1+1}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|-2|}{\sqrt{2}}$

Da mesma forma, calcule o módulo do número e racionalize o denominador

$d=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\\\\\\ d=\sqrt{2}$

Como $\sqrt{2}<\sqrt{5}$, a reta é secante à circunferência.

c) $r: x+y-2=0$ e $x^2+y^2-4x-4y+6=0$

Da mesma forma, devemos completar quadrados. Some $4+4$ em ambos os lados da equação

$x^2+y^2-4x-4y+6+\bold{4+4}=0+\bold{4+4}$

Reorganize os termos e subtraia 6 em ambos os lados da equação

$x^2-4x+4+y^2-4y+4=2$

Fatore os trinômios quadrados perfeitos

$(x-2)^2+(y-2)^2=2$

A circunferência tem centro nas coordenadas $(2,~2)$ e raio de medida $\sqrt{2}$.

Utilizando a fórmula de distância, temos:

$d=\dfrac{|1\cdot2+1\cdot2-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

Multiplique os valores e calcule as potências

$d=\dfrac{|2+2-2|}{\sqrt{1+1}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|2|}{\sqrt{2}}$

O módulo de um número positivo é o próprio número. Calcule o valor do módulo e racionalize o denominador

$d=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\\\\\\ d=\sqrt{2}$

Como a distância do centro à reta é igual ao raio, temos que a reta é tangente à circunferência.

d) $r:2x-y-1=0$ e $(x-3)^2+(y+1)^2=16$

A circunferência tem centro em $(3,~-1)$ e raio de medida igual a $4.$

Utilizando a fórmula de distância, temos

$d=\dfrac{|2\cdot3-1\cdot(-1)-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$

Multiplique os valores e calcule as potências

$d=\dfrac{|6+1-1|}{\sqrt{4+1}}$

Some os valores

$d=\dfrac{|6|}{\sqrt{5}}$

Calcule o módulo do número e racionalize o denominador

$d=\dfrac{6}{\sqrt{5}}\\\\\\ d=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$

Como $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}<4$, a reta é secante à circunferência.