Question

Em alguns momentos é de interesse calcular pontos de máximo e/ou mínimo de funções, principalmente quando se deseja otimizar um problema que foi descrito em linguagem matemática. A otimização pode ser executada derivando a função e igualando-a a zero, isso permite encontrar os pontos críticos, possíveis máximo ou mínimo da função.

F(x ,y) = 3x^2 + 5y^2 - 2xy + x + y- 10

Utilizando as regras de derivação e a regra da derivada segunda, ASSINALE a alternativa que apresenta os pontos de máximo e mínimo da função apresentada com sua classificação.

Alternativas

Alternativa 1:

(3/14; 1/7) Ponto de Mínimo


Alternativa 2:

(5/14; 2/7) Ponto de Máximo


Alternativa 3:

(-1/14; -4/7) Ponto de Mínimo


Alternativa 4:

(-3/14; -1/7) Ponto de Mínimo


Alternativa 5:

(-9/14; 3/7) Ponto de Máximo

Answer 1

Resposta:

Eu marquei Alternativa 1 - (3/14; 1/7) Ponto de Mínimo

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Aplicando o gradiente da função F obtemos o seu ponto de mínimo em (-3/14, -1/7). Alternativa 4.

Por termos uma função de duas variáveis definida em uma região aberta primeiramente vamos calcular seu gradiente.

Logo, a derivada de F em relação a x será:

$\frac{\partial F}{\partial x} = 6x + 0 - 2y + 1 + 0 - 0 = 6x - 2y + 1$

E em relação a y:

$\frac{\partial F}{\partial y} = 0 + 10y - 2x + 0 + 1 - 0 = 10y - 2x + 1$

Logo o gradiente de F é:

$\nabla F = (6x - 2y + 1, 10y - 2x + 1)$

A condição para que encontremos os pontos críticos de F é que o gradiente seja nulo, ou seja, vamos montar o seguinte sistema linear:

$\nabla F = (0,0)\\\\\left \{ {{6x - 2y + 1 = 0} \atop {-2x + 10y + 1 = 0}} \right.$

Isolando y na primeira equação:

6x - 2y + 1 = 0

y = 6x/2 + 1/2 = 3x + 1/2

Substituindo essa relação na segunda equação do sistema:

10y - 2x + 1 = 0

10(3x + 1/2) - 2x + 1 = 0

30x + 5 - 2x + 1 = 0

28x = -6

x = -6/28 = -3/14

Substituindo na primeira relação obtida:

y = 3x + 1/2 = 3(-3/14) + 1/2 = 1/2 - 9/14 = (7 - 9)/14 = -2/14 = -1/7

Logo o ponto crítico de F é (-3/14, -1/7). Que é seu ponto de mínimo.

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