Question

Em algumas situações é interessante analisar o comportamento de funções utilizando os conceitos de limite e aplicando-os aos extremos da função, ou seja, fazendo x tender a infinito positivo (+∞) ou infinito negativo (-∞). Neste contexto, qual o limite da função R(x), que é definida como a razão entre A(x) e B(x), para x→∞. Considere: A(x) = 8x4 + 2x3 - 5x2 + 7x - 9 e B(x) = - 3x4 + x3 - 5x2 - 3x + 9 e R(x) = A(x)/B(x)

Answer 1

Completando a questão:

A) O limite de R(x) para x → ∞ é 4.

B) O limite de R(x) para x → ∞ é -8/3.

C) O limite de R(x) para x → ∞ é 1.

D) O limite de R(x) para x → ∞ é 8/3.

E) O limite de R(x) para x → ∞ é -1.

Solução

Sendo A(x) = 8x⁴ + 2x³ - 5x² + 7x - 9 e B(x) = -3x⁴ + x³ - 5x² - 3x + 9, temos que a função R(x) é definida por:

$R(x) = \frac{8x^4+2x^3-5x^2+7x-9}{-3x^4+x^3-5x^2-3x+9}$.

Queremos calcular $\lim_{x \to \infty} R(x)$.

Para calcular o limite tendendo a mais ou menos infinito, precisamos colocar o fator de maior grau em evidência, tanto no numerador quanto no denominador.

Dito isso, temos que:

$\lim_{x \to \infty} \frac{8x^4+2x^3-5x^2+7x-9}{-3x^4+x^3-5x^2-3x+9} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4(8 + \frac{2}{x}-\frac{5}{x^2}+\frac{7}{x^3}-\frac{9}{x^4})}{x^4(-3 + \frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}-\frac{3}{x^3}+\frac{9}{x^4})}$.

É importante lembrar que $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$.

Assim,

$\lim_{x \to \infty} \frac{8x^4+2x^3-5x^2+7x-9}{-3x^4+x^3-5x^2-3x+9} = \lim_{x \to \infty} \frac{8}{-3}=-\frac{8}{3}$.

Portanto, a alternativa correta é a letra b).