Question

Em Álgebra Linear temos alguns vetores que são fundamentais no entendimento dos
conceitos abordados. A dependência e independência linear e a geração de vetores
são conceitos que devemos compreender bem.
Nesse sentido, assinale com V, as afirmações verdadeiras e com F as falsas.

Answer 1

A sequência é V - V - F - V.

Vamos analisar cada afirmativa.

I. Para sabermos se os vetores (1,-2,1), (2,1,-1) e (7,-4,1) são linearmente dependentes, vamos calcular o seguinte determinante: $\left[\begin{array}{ccc}1&-2&1\\2&1&-1\\7&-4&1\end{array}\right]$.

Sendo assim, temos que:

d = 1(1.1 - (-4).(-1)) - (-2)(2.1 - 7.(-1)) + 1(2.(-4) - 7.1)

d = 1 - 4 - (-2)(2 + 7) + (-8 - 7)

d = -3 - (-4 - 14) - 15

d = -3 + 18 - 15

d = 18 - 18

d = 0.

Como o determinante é igual a zero, então os três vetores são linearmente dependentes.

Logo, a afirmativa é verdadeira.

II. A dimensão do R² é dois. Então, para gerá-lo, precisamos de dois vetores.

A afirmativa é verdadeira.

III. Observe que (2,0,4) = 2(1,0,2), ou seja, os vetores (1,0,2) e (2,0,4) são múltiplos. Isso quer dizer que eles são linearmente dependentes.

A afirmativa é falsa.

IV. A dimensão do R³ é três. Para gerá-lo, precisamos de três vetores.

A afirmativa é verdadeira.