Question

Em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar"). Uma das suas aplicações é a possibilidade em verificar ortogonalidade entre vetores. Assim, sejam u = (k – 1, –3, k) e v = (–5, k – 1, k + 2) vetores em IR3. Se esses vetores são ortogonais, então, o maior valor positivo possível para k é igual a:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4.

Answer 1

✅ Após resolvermos todos os cálculos, concluímos que o maior valor positivo possível para o parâmetro "k" que torna os referidos vetores ortogonais é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:E\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os vetores:

       $\Large\begin{cases}\vec{u} = (k - 1, -3, k)\\\vec{v} = (-5, k - 1, k + 2) \end{cases}$

Se:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\perp\vec{v}\:\:\:\Longleftrightarrow\:\:\:\vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \end{gathered}$

Então temos:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} (k - 1)\cdot(-5) + (-3)\cdot(k - 1) + k\cdot(k + 2)= 0\end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} -5k + 5 - 3k + 3 + k^{2} + 2k = 0\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} k^{2} - 6k + 8 = 0 \end{gathered}$

Neste ponto percebemos que chegamos em uma equação do segundo grau - equação quadrática - cujos coeficientes são:

                $\Large\begin{cases}a = 1\\b = -6\\c = 8 \end{cases}$

Calculando o valor do delta, temos:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4ac \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (-6)^{2} - 4\cdot1\cdot8 \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 36 - 32 \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 4 \end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\Delta = 4 \end{gathered}$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}k = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-(-6)\pm\sqrt{4}}{2\cdot1} \end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{6 \pm2}{2} \end{gathered}$

Obtendo as raízes:

    $\Large\begin{cases}k' = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\k'' = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \end{cases}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}S = \{2, 4\} \end{gathered}$

✅ Como estamos procurando o maior valor positivo possível para o parâmetro "k", então este valor será a maior raiz, ou seja:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}k = 4 \end{gathered}$

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