Question

Efetue:

$\frac{ \sqrt{2} - 1 }{ \sqrt{2} + 1} - \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} - 2 }$

Obs.: Resolução completa!
Solução: 4 - 2√2

Answer 1

Vamos racionalizar cada termo separadamente:


1.

$\frac{ \sqrt{2} - 1 }{ \sqrt{2} + 1} = \frac{ \sqrt{2} - 1 }{ \sqrt{2} + 1} \times \frac{(1 - \sqrt{2}) }{(1 - \sqrt{2} )} = \frac{ \sqrt{2} - 2 - 1 + \sqrt{2} }{ {1}^{2} - {( \sqrt{2} )}^{2} } = \\ = \frac{2 \sqrt{2} - 3}{1 - 2} = \frac{2 \sqrt{2} - 3}{ - 1} = - 2 \sqrt{2} + 3$

2.

$\frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} - 2} = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} - 2} \times \frac{( - 2 - \sqrt{2}) }{( - 2 - \sqrt{2}) } = \frac{ - 2 \sqrt{2} - {( \sqrt{2} )}^{2} }{ {( - 2)}^{2} - {( \sqrt{2} )}^{2} } = \\ = \frac{ - 2 \sqrt{2} - 2 }{4 - 2} = \frac{ - 2 \sqrt{2} - 2 }{2} = - \sqrt{2} - 1$

Agora fazemos a subtração:


$\frac{ \sqrt{2} - 1 }{ \sqrt{2} + 1} - \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} - 2} = \\ = - 2 \sqrt{2 } + 3 - ( - \sqrt{2} - 1) = \\ = - 2 \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} + 1 = \\ = 4 - \sqrt{2}$